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Mines Mathématiques 1 PSI 2010

Théorème de la limite centrale

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Mines
Année
2010
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2010PSI MathsMaths 2010
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2010

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Théorème de la Limite Centrale.

Notations

On introduit les trois espaces vectoriels sur de fonctions suivants
  • , l'espace des fonctions continues de dans telles que
On rappelle qu'une telle fonction est nécessairement bornée sur .
  • , l'espace des fonctions continues et de classe (sur ) de dans telles que
On a noté la dérivée k-ième de .
  • , l'espace des fonctions continues positives bornées de dans dont l'intégrale sur est égale à 1 .
    On munit de la norme de la convergence uniforme : plus précisément, pour toute fonction , on pose
On pourra utiliser librement le théorème de Fubini admis ci-dessous :
Théorème 1. (Fubini) Soit ( ) une fonction continue de dans . On suppose que vérifie les trois propriétés suivantes.
1] Pour tous réels , les deux intégrales et convergent.
2] Les fonctions , sont toutes continues sur .
3] est intégrable sur , c'est à dire que l'intégrale :
converge.
Alors dans ce cas, et sont intégrables sur , et leurs intégrales sur sont égales. Autrement dit, on peut intervertir les deux intégrales :

I. Préliminaires

Pour et appartenant respectivement à et , on définit le produit de convolution par la formule
On définit par la même formule si et .
Q1 Soient et . Montrer que l'intégrale converge pour tout réel . Puis montrer que définit une fonction continue sur . (On pourra utiliser le théorème de continuité sous le signe et on vérifiera avec soin que les conditions de validité sont remplies). Vérifier de plus que
Q2 Montrer que . (On considèrera une suite réelle quelconque tendant vers . On vérifiera avec soin qu'on peut appliquer le théorème de convergence dominée pour étudier ). Montrer de même que
Q3 Soient et appartenant à . Montrer alors que définit une fonction de . Plus précisément, montrer que définit une fonction continue sur , bornée, positive et d'intégrale égale à 1 . (On appliquera le théorème de Fubini à la fonction et on pourra se contenter de ne vérifier que les conditions 1] et 3]).
Dans la suite on admettra et utilisera librement le résultat suivant. Si et appartiennent à et est une fonction de alors,
Soient des fonctions de . On définit alors le produit de convolution par récurrence comme suit :
Il est clair que est une fonction de .
Dans la suite, on notera la fonction , la fonction intervenant fois.

II. Une classe d'opérateurs sur

Soit une fonction de . On lui associe l'opérateur agissant sur défini pour tout par
D'après Q1 et Q2, définit un endomorphisme de .
Q4 Soit une fonction de . Prouver que pour tout ,
Q5 Soient et deux fonctions de . Prouver que pour toute fonction de ,
où désigne la composée des opérateurs et .
Q6 Soient des fonctions de . Prouver que pour tout ,
Q7 Soient et des fonctions de . Prouver que si , alors pour tout ,

III. Lois normales

On introduit pour tout réel , la fonction
dite loi normale de paramètre . On admet que est une fonction de .
Q8 Pour tout réel , montrer que est une fonction de , puis calculer les deux intégrales suivantes :
Soient et deux réels strictement positifs. On admettra que:
où .
Q9 Soit . Etablir les deux égalités suivantes entre opérateurs :

IV. Convergence faible sur

Définition : Soit une suite de fonctions de . On dira que converge faiblement vers , étant une fonction de , si pour toute fonction de ,
Soit une fonction de . On fixe un réel et on considère la fonction définie pour réel par :
où a été défini au début de la partie III.
Q10 Soit strictement positif fixé et . Démontrer qu'il existe un polynôme dont on précisera le degré tel que :
Q11 Soient et un entier positif ou nul. Prouver qu' il existe une fonction continue par morceaux et intégrable sur telle que :
La fonction ne dépend que de et . (On pourra majorer indépendamment de . Ensuite on pourra majorer convenablement pour et .
Q12 Soient strictement positif fixé et . Démontrer que est une fonction de classe sur . Puis montrer que est de classe sur .
Q13 Pour strictement positif fixé et , démontrer que est une fonction de .
Q14 Soit un réel strictement positif. Déterminer et . Q15 Soit . Prouver que
Pour cela on utilisera la question précédente ainsi que le résultat admis suivant, valable pour tout :
Q16 Soit une suite de fonctions de et une fonction de . On suppose que pour toute fonction de ,
Prouver alors que ( ) converge faiblement vers . (On pourra utiliser les questions 4 et 15).
Dans la suite, est une fonction de telle que est aussi dans . On admet que l'intégrale converge et on supposera que . Pour tout entier strictement positif, on introduit les deux fonctions et définies par:
On admettra que et appartiennent à .
Q17 Soit et . Vérifier que se prolonge continûment en . Puis montrer que pour tout on a :
,
où désigne la dérivée première de et désigne la dérivée seconde de .
Q18 Démontrer que pour toute fonction de ,
(On pourra considérer les trois intégrales et , avec bien choisi, dans le second membre de la formule de la question précédente).
Q19 Montrer que pour toute fonction de ,
où a été définie au début de la partie III. (On pourra utiliser les questions 7,9 et 18). Conclure que la suite converge faiblement vers ; on rappelle que la notation a été définie juste après la question 3.

FIN DU PROBLÈME.

Ce dernier résultat intervient en théorie des probabilités. Il constitue une version faible du théorème de la limite centrale dans le cas de variables aléatoires à densité de probabilité continue bornée sur .
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