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Mines Mathématiques 1 PSI 2009

Étude spectrale d'un opérateur de transfert

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVNSuites et séries de fonctions
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Banque
Mines
Année
2009
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2009PSI MathsMaths 2009
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude spectrale d'un opérateur de transfert

Soit un -espace vectoriel et un endomorphisme de on dira que le complexe est une valeur propre de s'il existe un élément de non nul tel que .
Soit l'espace des fonctions de dans qui sont continues et 1 -périodiques. Cet espace est normé par
On désigne par la fonction constante égale à 1 sur tout et par le sous-espace vectoriel de engendré par .
Si on définit
L'objet du problème est l'étude des propriétés spectrales de diverses restrictions de à des sous-espaces invariants de . On mettra notamment en évidence sur certains de ces espaces la propriété de «trou spectral» : il existe tel que les valeurs propres autres que 1 sont de module inférieur ou égal à .

I Préliminaires

  1. Montrer que si appartient à alors aussi.
  2. Montrer que pour tout élément de on a l'inégalité puis que
On appelle l'hyperplan de des fonctions telles que
  1. Montrer que est stable par .
  2. Expliciter la projection sur parallèlement à .

II Fonctions trigonométriques

Pour tout entier relatif , on note de sorte que est continue et 1-périodique, c'est-à-dire que appartient à . Pour tout entier , on désigne par le sous-espace de engendré par .
5) Déterminer (respectivement ) pour tout entier relatif et en déduire que les espaces sont -stables (respectivement -stables).
On note (respectivement ) l'endomorphisme de induit par (respectivement par ).
6) Calculer les valeurs propres de . L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
7) Soit et l'unique entier tel que . Montrer pour tout entier , l'identité suivante :
  1. Calculer les coefficients de Fourier de en fonction de ceux de pour tout .
  2. Déterminer le noyau de .

III Fonctions höldériennes

On rappelle que pour tous les réels et ,
Soit . On appelle le sous-espace de des fonctions telles que
é
On notera alors
On admettra que
définit une norme sur .
10) Montrer que est stable par .
On note l'endomorphisme de induit par .
11) Montrer que pour tout puis que .
Soit un nombre complexe de module strictement inférieur à 1 . On pose, pour tout réel ,
  1. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur vers une fonction .
On admettra, que dans ce cas, la suite ( ) converge dans l'espace vectoriel vers :
  1. Montrer qu'alors . Est-ce que est une valeur propre de ?
  2. Soit maintenant tel que et deux réels et tels que
En considérant séparément les sommes avec et dans la série ayant pour valeur , montrer que .
15) Montrer que laisse invariant .
16) Soit , montrer que
  1. Établir, pour , l'inégalité suivante :
  1. Montrer que si alors pour tout entier , l'inégalité suivante est vérifiée :
  1. En déduire que l'ensemble des valeurs propres de est la réunion du singleton et du disque fermé de centre 0 et de rayon (phénomène de trou spectral).

Fin du problème

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