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Mines Mathématiques 1 PSI 2005
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Intégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
A 2005 Math PC 1
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2005
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1 - Filière PC. Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Avertissement : dans ce problème, apparaissent de nombreuses intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématiquement l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est pas explicitement demandé.
I. Préliminaires
- Montrer les inégalités suivantes:
- Soit
une bijection de l'intervalle ouvert sur l'intervalle ouvert . Si est de classe sur , donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit un -difféomorphisme de sur . Dans ce cas, rappeler l'expression de la dérivée de .
II. Construction d'une application particulière
On note
On note
Dans tout le reste de l'énoncé,
3) Soit
3) Soit
En particulier
Montrer que
4) Montrer qu'il existe une unique fonction
4) Montrer qu'il existe une unique fonction
- Montrer que
est monotone et que est un -difféomorphisme de sur . - Pour tout réel
, calculer
et
- Soit
une fonction continue par morceaux de dans telle que la fonction soit intégrable sur .
Montrer l'identité suivante :
- Montrer qu'il existe un réel
tel que pour tout réel , on ait:
- Montrer qu'il existe un réel
tel que pour tout réel , on ait:
- Déterminer une primitive de la fonction
- Calculer l'intégrale suivante
III. Une inégalité intéressante
On introduit les notations suivantes:
- Justifier la convergence de ces deux intégrales.
- Montrer l'identité :
- Montrer l'égalité suivante:
- Quelle est la relation d'ordre entre
et ? - Déterminer les fonctions telles que
.
FIN DU PROBLÈME
Le problème de transport de Monge consiste à optimiser le coût global du transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni-dimensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infiniment fin dont le poids entre les abscisses