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Mines Mathématiques 1 PSI 2004

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesAlgèbre généraleAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries entières (et Fourier)
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Mines
Année
2004
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2004PSI MathsMaths 2004
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A 2004 Math PC 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce problème met en évidence par une méthode originale une propriété et une méthode de calcul de la moyenne et de la variance bien connues en Probabilités.
Soit l'ensemble des suites réelles dont tous les termes sont positifs ou nuls et la somme égale à 1 :
Soit l'ensemble des fonctions réelles qui sont des sommes de série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 ; ces séries entières sont convergentes lorsque le réel est égal à 1 et leur somme vaut 1 en ce point ; toutes les dérivées des fonctions en 0 sont positives ou nulles :
À une suite , appartenant à , est associée la fonction définie par la relation suivante :
Soit l'application ainsi définie : ; la fonction est notée .

Propriétés des fonctions de et des suites de :

  1. Démontrer que toute fonction , qui appartient à l'ensemble , est, sur l'intervalle ouvert , une fonction indéfiniment dérivable, croissante sur le segment et convexe sur l'intervalle semi-ouvert .
  2. Démontrer que toute fonction , qui appartient à l'ensemble , est continue à gauche en 1 .
Exemples : soient et les trois suites définies par les relations suivantes :
  • est la suite géométrique de terme général :
  • Étant donné un entier naturel est la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de rang égal à 1 :
  • est la suite de réels définie par les relations suivantes :
  1. Montrer que les suites et sont dans . Déterminer les images des suites et ; calculer la dérivée de la fonction image de la suite ; puis donner l'expression de à l'aide d'une intégrale.
  2. Soit une fonction appartenant à l'ensemble .
Démontrer que, si la fonction est nulle en , la fonction est, soit égale à sur le segment , soit strictement majorée par sur l'intervalle ouvert .
Démontrer que, si la fonction est strictement positive en , l'équation
a, dans l'intervalle ouvert , au plus une solution.
5. Démontrer que, pour toute suite appartenant à l'ensemble , la fonction appartient à l'ensemble . Démontrer que l'application est une application bijective de l'ensemble sur l'ensemble .

Une loi de composition dans l'ensemble :

Étant données deux suites et appartenant à l'ensemble , soit la suite, dont les termes , sont définis par la relation suivante :
  1. Démontrer que la suite ainsi définie appartient à l'ensemble .
  2. Démontrer qu'étant données deux suites et de , à la composée de ces suites correspond par l'application le produit des fonctions et :
  1. Démontrer que la loi de composition définie ci-dessus est associative, a un élément neutre et est commutative.
Étant donnés un réel , strictement compris entre 0 et et un réel strictement positif, soient et les suites définies de la manière suivante:
  • est la suite dont tous les termes , sont nuls sauf les deux premiers : et
  • est la suite de terme général :
  • est la suite de terme général :

Produit de composition de chacune de ces suites fois avec elle-même :

  1. Démontrer que les trois suites et appartiennent à l'ensemble . Déterminer leurs images et par l'application .
  2. Étant donné un entier naturel strictement positif, déterminer les suites et obtenues respectivement à partir des suites et par composition fois avec elle-même. Préciser les termes de ces suites notés respectivement et .

Pour un réel donné, limite de la suite lorsque l'entier croît vers l'infini.

  1. Le réel strictement positif est donné ; lorsque l'entier est suffisamment grand, le rapport est un réel strictement compris entre 0 et 1 .
Déterminer, pour tout entier fixé, la limite du terme
lorsque l'entier croît vers l'infini. Exprimer cette limite à l'aide du terme de rang de la suite .

Suite d'éléments de :

  1. Soit une suite d'éléments de l'ensemble . Soit le terme de rang de la suite :
Cette suite d'éléments de est supposée telle que chacune des suites des termes de rang est, lorsque l'entier croît vers l'infini, une suite convergente de limite .
Démontrer que la série de terme général , est une série de terme général positif ou nul, convergente, de somme inférieure ou égale à 1 :
Donner un exemple de suite d'éléments de l'ensemble telle que chacune des suites définie par les termes de rang soit convergente et de limite nulle.
Étant donné un réel strictement positif , soit le sous-ensemble des éléments de l'ensemble tels que la série de terme général , soit convergente.

Relation d'inclusion entre les sous-ensembles :

  1. Étant donnés deux réels et strictement positifs , démontrer que, si les réels et sont distincts l'un de l'autre ( ), l'un des deux sous-ensembles et est contenu dans l'autre.
À une suite appartenant à l'ensemble , est associé le réel , appelé moyenne de , défini par la relation suivante :
À une suite appartenant à l'ensemble , est associé le réel , appelé variance de , défini par la relation suivante :
Dans toute la suite du problème l'élément de appartient au sous-ensemble .

Positivité de la variance :

  1. Un résultat préliminaire : soient un entier strictement positif et une suite de réels strictement positifs ( ). Démontrer que l'application qui, à deux vecteurs de et associe le réel
est un produit scalaire dans .
15. Pour tout élément de , démontrer l'existence des deux grandeurs et . Démontrer que la variance est positive ou nulle :
Indication : comparer, pour tout entier , les deux expressions suivantes :

Une expression approchée de la fonction à l'aide de la moyenne et de la variance :

  1. Démontrer que les dérivées première et seconde de admettent une limite lorsque le réel tend vers 1 par valeurs inférieures. Déterminer ces deux limites, notées et , en fonction de et .
  2. Soit la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]-1, 1 [ par la relation suivante :
Démontrer, pour tout réel compris strictement entre 0 et 1 , l'inégalité suivante :

Moyenne et variance des trois suites et :

  1. Démontrer, lorsque est un réel strictement compris entre 0 et 1 et un réel strictement positif, que les trois suites et définies ci-dessus, appartiennent à l'ensemble .
  2. Calculer pour chacune de ces suites et la moyenne et la variance. C'est-à-dire les six grandeurs :

FIN DU PROBLÈME

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