ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2002

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Étant donnée une fonction réelle, définie sur le segment , indéfiniment dérivable, soit la suite réelle définie par les relations suivantes:
(U) ; pour tout entier strictement positif, .

Soit le rayon de convergence de la série entière de terme général . Soit la somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l'ensemble des points en lesquels la série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante :

a. Exemples : étant donnés un réel différent de et un entier naturel différent de , déterminer les rayons de convergence et les sommes et des séries entières de terme général , lorsque la fonction est successivement définie par l'une des trois relations suivantes :

Préciser les ensembles de définition des trois fonctions et ; pour déterminer la fonction , exprimer le coefficient pour au moyen du coefficient du binôme
égal à .
b. Déterminer, pour une fonction réelle, définie sur le segment , indéfiniment dérivable, le rayon de convergence de la série entière de terme général .

Dans la suite du problème, les fonctions indéfiniment dérivables considérées prennent des valeurs différentes de 0 en tout point d'abscisse où est un entier strictement positif (pour tout entier strictement positif .

a. Démontrer que, si la fonction prend une valeur en 0 strictement positive , il existe un rang tel que, pour tout entier supérieur ou égal à , le réel soit de signe constant.
b. Étudier la convergence de la suite dans les deux cas suivants :
i. le réel appartient à l'intervalle semi-ouvert ,
ii. le réel est strictement supérieur à .

Dans toute la suite du problème, la fonction prend la valeur 1 en et des valeurs strictement positives sur le segment .

Soit la valeur prise par la fonction dérivée en 0 :

Soit la suite définie par les relations suivantes:

Dans le cas particulier où est nul : .
Étudier la convergence de la série dont le terme général , est défini par la relation :

En déduire l'existence d'une constante , différente de 0 , telle que soit équivalent à l'infini à .

a. Soit une fonction réelle, définie sur le segment , strictement positive, indéfiniment dérivable, prenant la valeur 1 en 0 ; déterminer l'ensemble de définition de la fonction , c'est-à-dire l'ensemble des réels pour lesquels la série de terme général est convergente ;
les coefficients sont définis par la relation (U) de la première page.
b. Exemple : étant donné un réel différent d'un entier naturel, soit la fonction définie sur l'intervalle [ 0,1 ] par la relation suivante :

Soit la fonction égale à la somme de la série entière de terme général ; les coefficients sont définis par la relation (U). Écrire l'expression de comme somme d'une série entière ; préciser son rayon de convergence. Reconnaître la fonction .

Soit un réel strictement compris entre 0 et ; soit la fonction définie sur le segment par la relation suivante :

C'est un exemple de fonction dont la dérivée est nulle en . Soit la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]-1,1[ par les relations suivantes :

a. Démontrer que la fonction , définie par les relations ci-dessus, est continue sur l'intervalle ouvert . Calculer pour tout réel , appartenant à l'intervalle ouvert , l'intégrale définie par la relation ci-dessous :

b. Soit la fonction complexe, périodique de période , définie sur l'intervalle semi-ouvert par la relation suivante :

Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction ; préciser la convergence de la série obtenue. En déduire la relation :

c. En déduire une expression de l'intégrale , considérée à l'alinéa a, au moyen de la somme d'une série.

II-2. Convergence de la suite :
Démontrer que la suite définie à partir de la fonction grâce aux relations (U) est convergente et déterminer sa limite.

Le but de cette partie est d'utiliser les résultats de la deuxième partie pour établir des propriétés de la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation :

Étant donné un entier supérieur ou égal à , soit la fonction définie sur le quart de plan par la relation suivante :

Soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte par la relation suivante :

Démontrer que les deux fonctions et sont définies et continues sur la demi-droite ouverte . Démontrer que la suite des fonctions , converge simplement, sur la demi-droite ouverte , vers la fonction .

III-2. Une expression de :
a. Étant donnés un entier naturel et un réel strictement positif ( ), soit l'intégrale définie par la relation suivante :

Calculer cette intégrale.
b. En déduire, pour tout entier supérieur ou égal à 1 et tout réel strictement positif, une expression de .

Démontrer, pour tout réel strictement compris entre 0 et , la relation suivante :