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Mines Mathématiques 1 PSI 2001

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Algèbre linéaireIntégrales à paramètresRéductionPolynômes et fractions
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2001
Filière
PSI
Matière
Maths
Mines PSIMines 2001PSI MathsMaths 2001
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D’ADMISSION 2001

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout ce problème l'entier est supérieur ou égal à est un espace vectoriel complexe de dimension . Le but de ce problème est d'étudier les applications semi-linéaires de l'espace vectoriel complexe dans lui-même. Une application de dans lui-même est semi-linéaire si elle possède la propriété suivante :
Pour tout scalaire et tout couple de vecteurs et de l'espace vectoriel la relation ci-dessous est vérifiée :
Le nombre complexe est le nombre complexe conjugué de .
Un nombre complexe est une valeur co-propre de l'application semi-linéaire u s'il existe un vecteur différent de 0 tel que la relation ci-dessous soit vérifiée :
Le vecteur est un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre .

Première partie

Le but de cette partie est d'étudier, pour une application semi-linéaire donnée, les valeurs et vecteurs co-propres.

I-1. Premières propriétés.

Soit une application semi-linéaire de l'espace vectoriel .
a. Démontrer qu'étant donné un vecteur , différent de 0 , appartenant à l'espace , il existe au plus un nombre complexe tel que la relation ait lieu.
b. Démontrer que, si le nombre complexe est une valeur co-propre de l'application semi-linéaire , pour tout réel , le nombre complexe est encore valeur co-propre de l'application semi-linéaire . Exprimer un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre en fonction d'un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre et du réel .
c. Étant donnée une valeur co-propre de l'application semi-linéaire , soit l'ensemble des vecteurs de l'espace vectoriel qui vérifient la relation :
Est-ce que l'ensemble est un espace vectoriel complexe ? réel ?
d. Étant données deux applications semi-linéaires et , étudier la linéarité de l’application composée .

I-2. Matrice associée à une application semi-linéaire :

Soit une application semi-linéaire de l'espace vectoriel ; soit une base de l'espace vectoriel . À un vecteur , de coordonnées , est associée une matrice-colonne , d'éléments , appelée (abusivement) vecteur.
a. Démontrer qu'à l'application semi-linéaire est associée dans la base de une matrice , carrée complexe d'ordre , telle que la relation s'écrive :
La matrice colonne est la matrice complexe conjuguée de la matrice-colonne .
b. Soient et les matrices associées à une même application semi-linéaire dans les bases et respectivement. Soit la matrice de passage de la base à la base . Exprimer la matrice en fonction des matrices et .
Étant donnée une matrice carrée , complexe, d'ordre , le vecteur , différent de 0 , ( ) est un vecteur co-propre de la matrice , associé à la valeur co-propre , si le vecteur et le nombre complexe vérifient la relation matricielle ci-dessous :
Dans la suite toutes les matrices considérées sont des matrices carrées complexes.

I-3. Exemples :

a. Soit la matrice d'ordre 2 définie par la relation suivante : . Rechercher les valeurs co-propres et les vecteurs co-propres associés.
b. Démontrer que, si une matrice est réelle et admet une valeur propre réelle , cette matrice a au moins une valeur co-propre.
I-4. Correspondance entre les valeurs co-propres de la matrice et les valeurs propres de la matrice :
Soit une matrice carrée complexe d'ordre .
a. Démontrer que, si le scalaire est une valeur co-propre de la matrice , le nombre réel est une valeur propre de la matrice .
b. Soit une valeur propre positive ou nulle ( ) de la matrice et un vecteur propre associé :
Démontrer que le réel est une valeur co-propre de la matrice en envisageant les deux cas suivants :
i. les vecteurs et sont liés ;
ii. les vecteurs et sont indépendants ;
c. En déduire que, pour que le réel positif ou nul soit valeur co-propre de la matrice , il faut et il suffit que le réel soit valeur propre de la matrice .
d. Étant donné un réel , soit la matrice définie par la relation suivante :
Déterminer les valeurs co-propres réelles positives ; discuter suivant les valeurs du réel .

I-5. Cas d'une matrice triangulaire supérieure :

Dans cette question la matrice est une matrice triangulaire supérieure (les éléments situés en-dessous de la diagonale principale sont nuls).
a. Démontrer que, si est une valeur propre de la matrice , pour tout réel , le nombre complexe est une valeur co-propre de la matrice .
b. Démontrer que, si est une valeur co-propre de la matrice , il existe un réel tel que le nombre complexe soit valeur propre de la matrice .
c. Soit la matrice définie par la relation ci-dessous :
Démontrer que le réel 1 est valeur co-propre de cette matrice et déterminer un vecteur co-propre associé. Poser : .

I-6. Une caractérisation des valeurs co-propres :

Soit une matrice carrée complexe d'ordre ; soient et les matrices réelles définies par la relation suivante :
Démontrer que le nombre complexe est valeur co-propre de la matrice si et seulement si le nombre réel est une valeur propre de la matrice , carrée réelle d'ordre , définie par blocs par la relation suivante :

Seconde partie

Étant données deux matrices carrées complexes et d'ordre , s'il existe une matrice carrée complexe d'ordre inversible ( ) telle que la relation
soit vérifiée, les deux matrices et sont dites co-semblables. Si une matrice est co-semblable à une matrice diagonale, la matrice est dite co-diagonalisable. Le but de cette partie est de rechercher à quelles conditions une matrice est co-diagonalisable.

II-1. Une relation d'équivalence :

Étant données deux matrices carrées complexes et d'ordre , ces matrices sont dites satisfaire la relation si et seulement si ces deux matrices sont co-semblables :
Démontrer que la relation est une relation d'équivalence dans l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre .

II-2. Indépendance des vecteurs co-propres :

Soit une matrice carrée complexe d'ordre , soient vecteurs co-propres de la matrice associés à des valeurs co-propres ; l'entier est inférieur ou égal à l'entier . Démontrer que, si les valeurs co-propres ont des modules différents les uns des autres ( ), la famille ( ) est libre.
En déduire que, si la matrice a valeurs propres , positives ou nulles, ( ), distinctes les unes des autres ( ), la matrice est co-diagonalisable.

II-3. Quelques propriétés :

a. Soit une matrice carrée complexe d'ordre inversible ( ) ; soit la matrice définie par la relation
Calculer la matrice produit .
b. Soit une matrice carrée complexe d'ordre telle que
démontrer qu'il existe au moins un réel tel que la matrice définie par la relation ci-dessous
soit inversible. Calculer, en donnant au réel cette valeur, la matrice ; en déduire la matrice .

II-4. Une condition nécessaire :

Soit une matrice d'ordre co-diagonalisable. Il existe par suite une matrice inversible telle que la matrice soit diagonale. Démontrer que la matrice est diagonalisable, que ses valeurs propres sont positives ou nulles et que le rang de la matrice est égal au rang de la matrice .

II-5. Exemples:

a. Soit une matrice symétrique réelle d'ordre ; est-elle co-diagonalisable ?
b. Soient et les matrices d'ordre 2 suivantes :
Est-ce que ces matrices sont diagonalisables ? co-diagonalisables ?

FIN DU PROBLÈME

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