L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'objectif de ce problème est l'étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier naturel , c'est-à-dire du nombre de décompositions de en somme d'entiers naturels non nuls (sans tenir compte de l'ordre des termes). Une définition rigoureuse de ce nombre, noté , est donnée en début de partie . Dans la partie , on introduit une fonction de variable complexe; dans la fin de la partie on démontre qu'il s'agit de la somme, sur le disque unité ouvert complexe, de la série entière . Dans la partie , on étudie au voisinage de 1 en variable réelle. Cette étude est mise à profit, dans la partie , pour obtenir une domination de bonne qualité de la suite .

Tout au long du problème, le disque unité ouvert de sera noté

On admettra aussi l'identité classique suivante :

Soit . Montrer la convergence de la série . Préciser la valeur de sa somme lorsque . On notera

Soit . Montrer que la fonction est dérivable sur un intervalle ouvert incluant et donner une expression simple de sa dérivée sur .
Soit . Montrer que la fonction est constante sur , et en déduire que

Montrer que pour tout dans .
En déduire que la série est convergente pour tout dans .

Dans la suite, pour tout on note

Soit . Vérifier que , que

et que pour tout réel ,

Dans cette partie, on introduit la fonction qui à tout réel associe le nombre réel , où désigne la partie entière de .
Montrer que est continue par morceaux sur , qu'elle est 1 -périodique et que la fonction est paire.
Montrer que est bien définie pour tout réel .
Montrer que pour tout entier ,

Montrer que tend vers 0 quand tend vers , et en déduire la convergence de l'intégrale , ainsi que l'égalité

À l'aide d'un développement en série sous l'intégrale, montrer que

Montrer que

On pourra commencer par établir que est décroissante sur .

Pour et , on pose

Montrer que est continue sur pour tout .
Soit . Montrer successivement que puis pour tout entier , et établir enfin que

On admettra dans la suite que cette majoration vaut encore pour .
En déduire que

Montrer, pour tout réel , l'identité

Conclure que

Pour , on note l'ensemble des listes telles que . Si cet ensemble est fini, on note son cardinal.

17 Soit . Montrer que est inclus dans et non vide pour tout , que la suite est croissante et qu'elle est constante à partir du rang .

Dans toute la suite, on notera la valeur finale de .
Soit . Donner une suite telle que

En déduire, par récurrence, la formule

On fixe et . En utilisant le résultat de la question précédente, établir la majoration . En déduire le rayon de convergence de la série entière .
Soit . En examinant la différence , démontrer que

Soit . Montrer que pour tout réel ,

Dans le reste du problème, l'objectif est d'utiliser la formule (1) pour obtenir un contrôle assez fin du nombre lorsque tend vers .

Soit et . En utilisant la fonction , montrer que

En déduire que pour tout et tout réel ,

Soit et un réel. Montrer que

En déduire que si alors

Pour ce dernier résultat, on distinguera deux cas selon les valeurs relatives de et .
Montrer qu'il existe un réel tel que

En déduire qu'il existe trois réels et tels que, pour tout et tout ,

En déduire que

En prenant dans (1), conclure que

Épilogue. Le dernier résultat est très proche de l'optimalité. Par une analyse plus fine de l'intégrale dans la formule (1), on peut en effet établir l'équivalent

formule découverte par Hardy et Ramanujan en 1918.