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Mines Mathématiques 1 PC 2016

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Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Séries et familles sommables
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Mines
Année
2016
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2016PC MathsMaths 2016
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CONCOURS 2016

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Mathématiques I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Marche aléatoire : retour à 0

A Préliminaire

  1. Montrer que, pour tout ,

B Identité de Karamata

On considère dans cette partie une suite réelle telle que, pour tout réel , la série de terme général converge absolument. Pour tout réel , on note la somme de cette série et l'on suppose que
  1. Pour tout , déterminer :
  1. Pour tout , justifier la convergence de l'intégrale
et calculer sa valeur. En déduire l'égalité :
On admettra que .
4. Montrer que, pour toute application polynomiale réelle , on a :
Soit la fonction définie, pour tout , par :
  1. Justifier la convergence de l'intégrale
et donner sa valeur.
6. Soit . Justifier la convergence de la série de terme général .
On admet l'égalité (dite de Karamata) :
  1. En utilisant ce résultat pour , en déduire que

C Théorème taubérien

On considère une suite décroissante de réels positifs et, pour tout entier naturel , on pose : . On fait l'hypothèse que
On va montrer qu'alors
On notera la partie entière d'un réel .
8. Soit un couple de nombres réels vérifiant : . Pour tout entier naturel tel que et soient non nuls, justifier l'encadrement :
  1. Soit un réel strictement positif. Déterminer les limites des suites de termes généraux
  1. Soit un réel strictement positif. Montrer que, pour tout entier naturel assez grand, on a :
  1. En déduire que .

D Marche aléatoire

On considère l'ensemble des suites indexées par à valeurs dans . On définit les applications coordonnées, pour tout ,
On admet que l'on peut construire une tribu et une mesure de probabilité sur , de sorte que les soient des variables aléatoires, indépendantes et de même loi donnée par
On définit la suite de variables aléatoires ( ) par
On définit enfin la variable aléatoire par
Pour tout entier naturel , on note , pour et pour ,
Figure 1 - Notations. Ici commence par ( ). appartient à et , ainsi qu'à , etc.
  1. Montrer pour tout , pour tout ,
  1. Montrer pour tout , pour tout que
Indication : on pourra considérer l'application
  1. En déduire que pour tout
  1. Montrer l'égalité :
  1. Pour tout réel de , établir l'égalité :
  1. Pour tout entier naturel , calculer .
Indication : on discutera suivant la parité de .
18. En déduire que, pour tout , on a :
  1. À l'aide des résultats obtenus dans les parties précédentes déterminer, quand l'entier naturel tend vers l'infini, un équivalent de .
  2. Montrer que l'on a: .
  3. Pour tout réel , prouver l'égalité :
  1. En déduire que, pour tout ,

Fin du problème

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