ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On note l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des réels et l'ensemble des matrices à coefficients réels.

Dans tout le problème, est un espace vectoriel de dimension sur le corps des réels et T un endomorphisme non nul de .

Soit une base de , on note la matrice représentant T dans cette base.
On note le noyau de T et l'image de T .
On dit que est une homothétie si c'est un multiple scalaire de l'identité.
On appelle projecteur un endomorphisme P de idempotent, c'est-à-dire tel que .

On note I l'endomorphisme identité de la matrice identité de et la matrice nulle.

Si , on appelle trace de le nombre réel suivant :

Question 1 Soient et , montrer que .
Question 2 Montrer que la trace de la matrice associée à T est indépendante de la base .

On appelle trace de T , notée tr T , la valeur commune des traces des matrices représentant T . On dit que la trace est un invariant de similitude.

Soit P un projecteur de .

Question 3 Démontrer que .
Question 4 En déduire que .
On pose .
Question 5 Montrer que et que .

Question 6 Démontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F et de est inférieure ou égale à la somme de leurs dimensions.
Question 7 Montrer que si l'endomorphisme S est une somme finie de projecteurs , , alors et .

On suppose dans cette partie que le rang du projecteur est égal à 1 .
Question 8 Démontrer qu'il existe tel que .
Soit une base de adaptée à la décomposition

Question 9 Montrer que dans la base la matrice représentant T s'écrit

où est le nombre réel dont l'existence découle de la question , et .
Question 10 Montrer que si n'est pas proportionnel à , alors , défini en (1), n'est pas la matrice d'une homothétie. On rappelle que .

On suppose dans cette partie que l'endomorphisme T n'est pas une homothétie.
Question 11 Démontrer qu'il existe un vecteur tel que et ne soient pas liés (c'est-à-dire ne soient pas colinéaires).
Question 12 Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice est de la forme suivante :

Question 13 En déduire que si , il existe une base dans laquelle la diagonale de est nulle.

Soit une suite de nombres réels vérifiant .
Question 14 En dimension , démontrer qu'il existe une base dans laquelle ait pour éléments diagonaux les .

Soit , on admettra qu'en dimension , il existe un projecteur L de de rang 1 , tel que d'une part et d'autre part ne soit pas proportionnel à .

Question 15 En dimension , à l'aide des questions 9 et 10 démontrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice représentant T s'écrit

Question 16 En dimension , démontrer par récurrence qu'il existe une base dans laquelle ait pour éléments diagonaux les .

On suppose désormais que T est un endomorphisme de vérifiant et rgT . On pose et .

Question 17 Montrer qu'il existe une base dans laquelle est de la forme suivante :

où est une matrice de taille .
Supposons tout d'abord que ne soit pas la matrice d'une homothétie
Question 18 A l'aide de la question 16 montrer qu'il existe une base dans laquelle

Question 19 En déduire que T est la somme d'un nombre fini de projecteurs.
On suppose maintenant que est la matrice d'une homothétie.

Question 20 Démontrer que là encore, T est la somme d'un nombre fini de projecteurs.