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Mines Mathématiques 1 PC 2000

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireRéductionSéries entières (et Fourier)Topologie/EVN
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Mines
Année
2000
Filière
PC
Matière
Maths
Mines PCMines 2000PC MathsMaths 2000
2025_08_29_8bd8147b700847fa5e68g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURDS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC , comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème est un entier naturel supérieur ou égal à 2 ( ). Soit la base canonique de l'espace vectoriel complexe . A un vecteur de l'espace vectoriel , de coordonnées , est associée la matrice dont les éléments , sont définis par la relation :
Le déterminant de la matrice est un déterminant de Van der Monde ; il est admis que sa valeur est donnée par la relation suivante :
Il est admis que l'application . dans :
est une norme. Soit l'espace vectoriel normé ( .
Le but du problème est de montrer qu'à cette application de dans peut être associé un réel tel que, pour tout vecteur de la relation suivante a lieu :
où le réel est une valeur prise pour un vecteur unitaire particulier :

1. Définition du réel :

L'entier est fixé ( ).
a. Comparer pour tout vecteur de l'espace vectoriel normé et tout nombre complexe les deux expressions et .
En particulier, étant donné un vecteur de , soit un vecteur de de norme unité vérifiant la relation : ; exprimer le nombre complexe en fonction de et de .
b. Démontrer que l'application de l'espace vectoriel normé dans est continue. En déduire que l'application continue admet un maximum sur la sphère unité ,
atteint pour au moins un vecteur . Soit le maximum de cette fonction sur la sphère unité :
c. Démontrer les deux relations :
i. pour tout vecteur de ;
ii. il existe au moins un vecteur unitaire de tel que
  1. Cas :
Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité :
Déterminer le maximum de la fonction sur la sphère unité. Démontrer que les vecteurs unitaires qui rendent maximum sont proportionnels à un même vecteur dont la première coordonnée est égale à 1 . Les déterminer.
3. Cas :
a. Etant donnés trois réels positifs ou nuls , et , démontrer l'inégalité suivante
Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si les trois réels sont égaux.
b. Etant donnés trois nombres complexes et , soient et les trois fonctions des variables et définies par les relations suivantes:
Démontrer que est une combinaison linéaire de et de .
c. Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité :
d. Calculer, pour un vecteur quelconque de l'espace , l'expression . En déduire une valeur possible pour le réel . Déterminer les équations que vérifient les coordonnées et d'un vecteur unitaire rendant maximum. Exhiber une solution à l'aide des racines cubiques de l'unité. En déduire le réel .

4. Une minoration du réel :

Soit le vecteur unitaire dont les coordonnées , sont définies par la relation :
a. est la matrice définie à partir du vecteur est la matrice complexe conjuguée. Démontrer que la matrice produit est une matrice proportionnelle à la matrice identité.
b. En déduire la valeur du module du déterminant de la matrice et une minoration du réel .

5. Une inégalité de Hadamard :

Dans cette question il est admis que l'application de dans qui, à deux vecteurs et , fait correspondre le nombre complexe ( ), défini par la relation suivante
est un produit scalaire hermitien. Soit l'espace préhilbertien ( .
La norme déduite de ce produit scalaire est notée ; elle est définie par la relation :
Etant donnée une suite de vecteurs indépendants de l'espace préhilbertien , soit la matrice carrée d'ordre dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs .
a. Déterminer, lorsque les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, le produit de la matrice transposée de la matrice complexe conjuguée de la matrice avec la matrice :
Que vaut le module du déterminant de la matrice ?
b. Soit les vecteurs de l'espace définis de la manière suivante :
  • ,
  • est le vecteur projection du vecteur sur la droite
    vectorielle engendrée par ,
  • pour tout entier compris entre 3 et : est le vecteur projection du vecteur sur l'espace vectoriel engendré par les vecteurs .
Démontrer l'égalité entre les déterminants des deux matrices et
c. Déduire des résultats précédents l'inégalité :
Démontrer, lorsque les vecteurs sont tous différents de 0 , qu'il y a égalité entre les deux membres de cette relation si et seulement si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.

6. Une majoration du réel :

Démontrer pour tout vecteur de l'espace vectoriel , de coordonnées , l'inégalité suivante :
Déterminer pour un vecteur unitaire ( ) de l'espace vectoriel une majoration du module . En déduire la valeur du réel .

7. Recherche des vecteurs :

Soit un vecteur unitaire de l'espace , de coordonnées , pour lequel le déterminant de la matrice a un module égal au réel :
a. Démontrer que les coordonnées de ce vecteur sont deux à deux différentes l'une de l'autre :
b. Démontrer, en utilisant par exemple l'inégalité de Hadamard, que les coordonnées , de ce vecteur ont toutes un module égal à 1 et vérifient les relations suivantes :
A ce vecteur est associé le polynôme défini par la relation suivante : pour tout réel ,
Ce polynôme peut aussi être écrit sous la forme :
c. Que vaut le coefficient ? Démontrer qu'il est possible de poser où est un réel.
Soit la fraction rationnelle définie par la relation :
est le polynôme dérivée du polynôme .
d. Démontrer que, sur l'ensemble de définition de la fraction rationnelle , la relation ci-dessous a lieu. :
En déduire qu'il existe un réel tel que sur l'intervalle ouvert [ la fonction est développable en série entière. Déterminer un minorant du réel .
La fonction est donc dans l'intervalle [ la somme d'une série entière qui s'écrit :
e. Déterminer les coefficients , à l'aide des coordonnées du vecteur . Quelle conclusion en tirer sur les premiers coefficients ?
f. Déduire des résultats précédents l'expression du polynôme , polynôme dérivée du polynôme . Déterminer le polynôme , puis les coordonnées du vecteur . Calculer, à titre de vérification, les normes de ce vecteur dans et dans c'est-à-dire et 。
g. Combien y-a-t-il de vecteurs dont une au moins des coordonnées est égale à 1 ?

FIN DU PROBLÈME

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