L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'objectif de ce problème est l'étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier naturel , c'est-à-dire du nombre de décompositions de en somme d'entiers naturels non nuls (sans tenir compte de l'ordre des termes). Une définition rigoureuse de ce nombre, noté , est donnée en début de partie . Dans la partie , on introduit une fonction de variable complexe ; dans la fin de la partie on démontre qu'il s'agit de la somme, sur le disque unité ouvert de , de la série entière . L'étude de au voisinage de 1 permet alors, dans les parties suivantes, de progresser vers l'obtention d'un équivalent simple de la suite (formule asymptotique de Hardy et Ramanujan).

Tout au long du problème, le disque unité ouvert de sera noté

Dans tout l'énoncé, on utilisera la dénomination «variable aléatoire réelle» pour signifier « variable aléatoire discrète réelle ».

On admettra aussi les deux identités classiques suivantes :

Soit . Montrer la convergence de la série . Préciser la valeur de sa somme lorsque . On notera

Soit . Montrer que la fonction est dérivable et donner une expression simple de sa dérivée. En déduire que est constante sur et conclure que

Montrer que pour tout dans . En déduire la convergence de la série pour tout dans . Dans la suite, on notera, pour dans ,

On remarque, en vertu de la question précédente et des propriétés de l'exponentielle, que

Pour , on note l'ensemble des listes telles que . Si cet ensemble est fini, on note son cardinal.
Soit . Montrer que est fini pour tout , que la suite est croissante et qu'elle est constante à partir du rang .

Dans toute la suite, on notera la valeur finale de .

5- Montrer par récurrence que

Soit . On convient que pour tout . En examinant la sommabilité de la famille , démontrer que

En déduire le rayon de convergence de la série entière .
Soit . Montrer que pour tout réel ,

si bien que

Dans le reste du problème, l'objectif est d'obtenir un équivalent du nombre lorsque tend vers . Cet équivalent sera obtenu via un choix approprié de en fonction de dans la formule (1).

Soit et . En utilisant la fonction , montrer que

En déduire que pour tout et tout réel ,

Soit et . Montrer que

En déduire que

On fixe dans cette partie un réel et un entier . Sous réserve d'existence, on pose

On introduit aussi la fonction

qui est évidemment de classe .
Montrer que et sont intégrables sur .
Montrer, pour tout réel , l'existence de , sa positivité stricte, et l'identité

En déduire que

Démontrer, sans utiliser ce qui précède, que

Dans le reste du problème, nous admettrons le résultat suivant (il peut être démontré par une méthode similaire) :

Étant donné une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé ( ), ainsi qu'un réel , les variables aléatoires réelles et sont d'espérance finie puisque bornées : on introduit alors le nombre complexe

Soit une variable aléatoire réelle. Montrer que pour tout réel .

Dans les questions à , on se donne une variable aléatoire réelle suivant une loi géométrique, de paramètre arbitraire. On pose .
Montrer que pour tout et tout réel ,

Montrer que pour tout , la variable aléatoire est d'espérance finie. Montrer que est de classe sur et que pour tout .
Montrer qu'il existe une suite de polynômes à coefficients dans , indépendante de , telle que

17 - En déduire qu'il existe une suite de réels strictement positifs, indépendante de , telle que

En déduire qu'il existe un réel indépendant de tel que

Dans les questions à , on se donne une variable aléatoire réelle centrée telle que soit d'espérance finie.
Montrer successivement que et sont d'espérance finie, et que

Montrer, pour tout réel , l'inégalité

En déduire que pour tout réel ,

Conclure que pour tout réel ,

Étant donné un réel , on pose, suivant les notations de la partie ,

Étant donné des réels et , on pose

Étant donné des réels et , on pose

Soit ainsi que des complexes tous de module inférieur ou égal à 1 . Montrer que

Soit et . On considère, pour tout , une variable aléatoire suivant la loi , et on pose . Démontrer que

En déduire, à l'aide en particulier de la question , l'inégalité

On rappelle que la constante a été introduite à la question , les quantités dans la partie .
Montrer que quand tend vers . En déduire, pour tout réel , que

Montrer qu'il existe un réel tel que

À l'aide de la question , en déduire qu'il existe trois réels et tels que, pour tout et tout ,

Conclure que

Dans cette dernière partie, on admet que quand tend vers .
En appliquant la formule (1) à , démontrer que

formule découverte par Hardy et Ramanujan en 1918.

Fin du problème