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Mines Mathématiques 1 MP 2020

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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Mines
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2020
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MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2020MP MathsMaths 2020
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des -espaces vectoriels de dimension finie. Soit un tel espace vectoriel et un endomorphisme de . On dit que est nilpotent lorsqu'il existe un entier tel que ; le plus petit de ces entiers est alors noté et appelé nilindice de , et l'on remarquera qu'alors pour tout entier . On rappelle que . L'ensemble des endomorphismes nilpotents de est noté .
Un sous-espace vectoriel de est dit nilpotent lorsque tous ses éléments sont nilpotents, autrement dit lorsque .
Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses coefficients diagonaux sont nuls. On note l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes de .
L'objectif du problème est d'établir le théorème suivant, démontré par Murray Gerstenhaber en 1958 :

Théorème de Gerstenhaber

Soit un -espace vectoriel de dimension , et un sous-espace vectoriel nilpotent de . Alors, . Si en outre alors il existe une base de dans laquelle tout élément de est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.
Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents. Dans la partie II, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie III, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemme A), et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme B). Dans l'ultime partie IV, les résultats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur la dimension de l'espace .

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel de dimension .
  1. Soit . Montrer que pour tout .
  2. On fixe une base de . On note l'ensemble des endomorphismes de dont la matrice dans est triangulaire supérieure stricte. Justifier que est un sous-espace vectoriel nilpotent de et que sa dimension vaut .
  3. Soit B une base de . Montrer que
  1. Soit . On se donne deux vecteurs et de , ainsi que deux entiers tels que et . Montrer que la famille est libre, et que si est libre alors est libre.
  2. Soit , de nilindice . Déduire de la question précédente que si et alors et est de dimension 1 .

II Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien . Étant donné et , on notera l'application de dans lui-même définie par :
  1. On fixe . Montrer que l'application est linéaire et constitue une bijection de sur .
  2. Soit et . Montrer que .

III Deux lemmes

On considère ici un -espace vectoriel de dimension . Soit un sousespace vectoriel nilpotent de contenant un élément non nul. On note
appelé nilindice générique de (cet entier est bien défini grâce à la question 3). On notera que .
On introduit le sous-ensemble de formé des vecteurs appartenant à au moins un des ensembles pour dans ; on introduit de plus le sous-espace vectoriel engendré
Enfin, étant donné , on pose
L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme A. Soit et dans . Alors pour tout entier naturel .
Lemme B. Soit dans . Si , alors pour tout dans .
Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires et de .
8. Soit . Montrer qu'il existe une unique famille d'endomorphismes de telle que
Montrer en particulier que et .
9. Montrer que .
10. Étant donné , donner une expression simplifiée de , et en déduire la validité du lemme .
11. Soit . Démontrer que . À l'aide d'une relation entre et , en déduire que pour tout .
12. Soit tel que . On choisit tel que .
Étant donné , montrer que pour tout il existe et tels que . En déduire que puis que pour tout .

IV Démonstration du théorème de Gerstenhaber

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème de Gerstenhaber par récurrence sur l'entier . Le cas est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On se donne donc un entier naturel et on suppose que pour tout espace vectoriel réel de dimension et tout sous-espace vectoriel nilpotent
de , on a , et si en outre alors il existe une base de dans laquelle tout élément de est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.
On fixe un espace vectoriel réel de dimension , ainsi qu'un sous-espace vectoriel nilpotent de . On munit d'un produit scalaire ( ), ce qui en fait un espace euclidien.
On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire de . On pose,
On note la projection orthogonale de sur . Pour , on note l'endomorphisme de défini par
On considère enfin les ensembles
  1. Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels respectifs de , et .
  2. Montrer que
  1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de tel que
et montrer qu'alors .
16. En considérant et pour et , déduire du lemme que , et que plus généralement pour tout et tout .
17. Justifier que pour tout , et déduire alors des deux questions précédentes que
  1. Soit . Montrer que pour tout et tout . En déduire que est un sous-espace vectoriel nilpotent de .
  2. Démontrer que
Dans toute la suite du problème, on suppose que .
20. Démontrer que
et
En déduire que contient pour tout et tout .
21. En appliquant l'hypothèse de récurrence, montrer que le nilindice générique de est supérieur ou égal à , et que si en outre alors il existe une base de dans laquelle tout élément de est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.
Compte tenu du résultat de la question 21 , il ne nous reste plus qu'à établir que l'on peut choisir le vecteur de telle sorte que .
On choisit dans (l'ensemble a été défini dans la partie III). On note le nilindice générique de , et l'on fixe tel que . On rappelle que d'après la question 21.
22. Soit tel que . Montrer que . On pourra utiliser les résultats des questions 5 et 20.
23. On suppose qu'il existe dans tel que . Soit . En considérant pour réel, montrer que .
24. Conclure.

Fin du problème

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