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Mines Mathématiques 1 MP 2016

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
Mines
Année
2016
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2016MP MathsMaths 2016
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CONCOURS 2016

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Autour de l'inégalité de Hoffman-Wielandt

Dans tout le problème désigne un entier supérieur ou égal à 2 . Soit l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels et un sous ensemble de . On dit qu'une matrice est extrémale dans si pour tous dans et tout , on a l'implication :
On note l'ensemble des matrices bistochastiques de , c'est-à-dire l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont positifs ou nuls et tels que pour tout .
On note enfin l'ensemble des matrices de permutation dont les coefficients sont de la forme :
pour tous dans , où est une permutation de .
La partie A n'est pas indispensable à la résolution des parties suivantes.

A Un exemple

Soit la matrice de définie par
c'est-à-dire par si ou , et sinon.
  1. Montrer que est une matrice de permutation. Calculer les valeurs propres réelles et complexes de , et en déduire que est diagonalisable sur .
  2. Déterminer une base de de vecteurs propres de .
Dans les trois questions suivantes désigne un entier naturel impair . Pour tout , on note une variable aléatoire à valeurs dans telle que
  • avec probabilité 1 ;
  • si , alors ou bien modulo , ou bien modulo , ceci avec équiprobabilité.
On note
  1. Déterminer et une matrice de telle que pour tout , . On exprimera à l'aide de la matrice .
  2. Déterminer les valeurs propres de la matrice et un vecteur propre de unitaire associé à la valeur propre de module maximal.
  3. En déduire la limite de lorsque .

B Théorème de Birkhoff-Von Neumann

  1. Montrer que l'ensemble est convexe et compact. Est-il un sous espace vectoriel de ?
  2. Montrer que et que est un sous-groupe multiplicatif de . Tout élément de est-il diagonalisable sur ? L'ensemble est-il convexe?
  3. Montrer que toute matrice de est extrémale dans .
Dans toute la suite de cette partie, on considère une matrice bistochastique qui n'est pas une matrice de permutation.
9. Montrer qu'il existe un entier et deux familles et
d'indices distincts dans tels que pour tous , et avec .
10. En considérant la matrice de définie par :
montrer que n'est pas un élément extrémal de . En déduire l'ensemble des éléments extrémaux de .
On dit qu'une matrice de , à coefficients positifs ou nuls, admet un chemin strictement positif s'il existe une permutation de telle que .
On démontre par récurrence sur , et on admet le résultat suivant : si est à coefficients positifs ou nuls et si toute matrice extraite de ayant lignes et colonnes avec n'est pas la matrice nulle, alors admet un chemin strictement positif.
11. Montrer que admet un chemin strictement positif.
On note une permutation de telle que et on pose et où est la matrice de permutation associée à .
12. Montrer que est bien définie, et que c'est une matrice bistochastique contenant au moins un élément nul de plus que .
13. En raisonnant par récurrence, démontrer que s'écrit comme une combinaison linéaire d'un nombre fini de matrices de permutation :
où les coefficients sont tous strictement positifs et de somme .
14. Soit une forme linéaire de . Montrer que existe. En déduire que existe et est atteint en une matrice de permutation.

C Inégalité de Hoffman-Wielandt

Dans cette partie, on munit de la norme euclidienne associée au produit scalaire défini par . On note le sous-ensemble de des matrices symétriques et celui des matrices orthogonales.
15. Montrer que pour tous et dans , on a .
Dans la suite de cette partie, et désignent deux matrices symétriques réelles.
16. Montrer qu'il existe deux matrices diagonales réelles , et une matrice orthogonale telles que .
17. Montrer que la matrice définie par pour tous dans est bistochastique et que
où désignent les valeurs propres de et celles de .
18. En déduire que
où le minimum porte sur l'ensemble de toutes les permutations de .
Soit ( ) un espace probabilisé et l'ensemble des variables aléatoires définies sur cet espace admettant un moment d'ordre 2. Pour tout de , on
note si suit la loi . Pour tout couple ( ) de lois, on pose
Soit et deux familles de réels. On note la loi uniforme sur et la loi uniforme sur .
19. Montrer que
où l'on a noté et les suites et ré-ordonnées par ordre croissant. En déduire que pour toutes matrices symétriques réelles de valeurs propres respectives et ( ), on a l'inégalité :

Fin du problème

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