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Mines Mathématiques 1 MP 2014

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Algèbre linéaireRéductionAlgèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Mines
Année
2014
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2014MP MathsMaths 2014
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Soit un entier naturel non nul et l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes. On note la matrice identité de . Une matrice de est dite nilpotente d'indice si est le plus petit entier strictement positif pour lequel .
Pour , on appelle exponentielle de , et on note ou , la matrice . On admet que si deux matrices et de sont telles que , on a . Enfin, on appelle bloc de Jordan d'ordre associé au nombre complexe , la matrice
Si et sont deux entiers naturels non nuls on note l'espace vectoriel des matrices à coefficients complexes comportant lignes et colonnes. On notera indifféremment ou .

A. Préliminaire sur la représentation dans

  1. Soit et des nombres réels strictement positifs, et des nombres réels. On note et . Montrer que l'équation équivaut au système :
On choisit dorénavant le réel dans l'intervalle . Soit alors l'application de dans définie par la formule :
  1. Déterminer les limites de lorsque et lorsque . Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation pour fixé? Soit et et l'application de dans définie .
  2. Déduire de ce qui précéde que est surjective.

B. Représentation d'un bloc de Jordan

Soit une matrice nilpotente d'indice .
4) Montrer qu'il existe telle que et que la famille est libre.
5) En déduire que est semblable à .
6) Montrer que est inversible et que est nilpotente d'indice .
7) Montrer que si est inversible, on a . En déduire qu'il existe telle que .
Soit un nombre complexe non nul.
8) Justifier l'existence d'un nombre complexe tel que et montrer que l'on peut écrire :
où est un polynôme à coefficients complexes qui dépend de .
9) Montrer que est nilpotente d'indice . En déduire qu'il existe telle que .

C. Forme de Jordan d'une matrice nilpotente

Soit une matrice nilpotente d'indice . On suppose dans un premier temps que .
10) Montrer qu'il existe et telles que est semblable à la matrice par blocs suivante :
où est la matrice nulle de .
Pour tout , on définit la matrice par blocs suivante :
  1. Montrer que est inversible et calculer son inverse. Vérifier que est de la forme
où l'on explicitera les matrices et .
12) Montrer que dans l'écriture de de la question précédente, on peut choisir de telle sorte que toutes les lignes de , à l'exception éventuelle de la dernière, soient nulles. (On pourra noter la ème ligne de pour et étudier l'effet sur les lignes de de la multiplication par dans le produit .)
13) Justifier que est nilpotente d'indice . En déduire que si la matrice est choisie comme dans la question précédente, la matrice est nulle. (On pourra raisonner par l'absurde en étudiant l'effet des endomorphismes associés aux puissances de sur les vecteurs de la base canonique de .)
14) En déduire que lorsque , la matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme :
où et désignent des entiers naturels non nuls.

D. Représentation dans

Soit . On note ses valeurs propres complexes distinctes, d'ordres de multiplicité respectifs dans le polynôme caractéristique de . Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est et le sous-espace vectoriel de défini par pour tout .
15) Montrer que l'espace vectoriel est la somme directe des espaces . En considérant une base de adaptée à cette somme directe, montrer que est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme :
où sont des matrices nilpotentes.
16) Montrer que l'application de dans lui-même est surjective.

Fin du problème

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