CONCOURS 2013

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème, est un entier supérieur ou égal à 2 et est un entier supérieur ou égal à 1 . Les espaces vectoriels et sont munis de leurs produits scalaires canoniques, notés ; en particulier pour , c'est le produit usuel dans .

On rappelle qu'une application de dans est bilinéaire lorsque pour tous dans , les deux applications partielles et de dans sont linéaires. L'application bilinéaire est dite symétrique si pour tous dans . En particulier, lorsque , on dit que est une forme bilinéaire symétrique.

Soit une application bilinéaire symétrique. On appelle noyau de et on note l'ensemble des vecteurs tels que pour tout . On dit que est diagonalisable s'il existe une base de telle que pour tous . Enfin, on dit que est plate (relativement au produit scalaire de ) si pour tous les vecteurs de , on a:

Le but du problème est d'établir, sous certaines conditions, qu'une application bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.

Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres.

Dans toute cette partie on pose . Soit une forme bilinéaire symétrique.

On rappelle que le rang d'une forme bilinéaire symétrique est égal au rang de la matrice où est une base quelconque de .
3) On suppose dans cette question que est de rang 1 . Montrer qu'il existe une forme linéaire telle que . (On pourra considérer la base duale d'une base qui diagonalise .)
4) En déduire qu'une forme bilinéaire symétrique de rang 1 est plate.
5) Réciproquement, soit une forme bilinéaire symétrique plate non nulle. Quel est le rang de ?

Soit une famille quelconque d'endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien de dimension , qui commutent deux à deux : pour tous dans . On se propose de démontrer par récurrence sur qu'il existe une base orthonormée de qui diagonalise tous ces endomorphismes. Le résultat étant évident pour , on suppose que et que le résultat est vrai pour toute dimension strictement inférieure à .
6) Soit . Montrer que si n'est pas une homothétie, les sous-espaces propres de sont de dimension strictement inférieure à . Montrer par ailleurs que ces sous-espaces sont stables par tous les endomorphismes .
7) Conclure.

Soit une application bilinéaire symétrique non nulle de dans . Si , on note l'application linéaire qui à tout associe . On a donc pour tous . Le noyau et l'image de sont notés respectivement et .

On note la dimension maximale lorsque parcourt , et on choisit un vecteur de tel que la dimension de soit égale à . Un tel vecteur est qualifié de régulier pour .
8) Dans cette question préliminaire, on se donne deux matrices carrées d'ordre à coefficients réels. Montrer que si ou est inversible, alors l'est aussi pour tout sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de .
9) Soit un entier naturel non nul et ( ), ( ) deux familles de vecteurs de . Montrer que si ( ) est libre, alors est également libre pour tout réel sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de .
En particulier ( ) sera libre pour tout dans un voisinage de 0 .
10) Montrer que pour tout et tout , on a . On pourra raisonner par l'absurde en montrant l'existence de vecteurs de tels que la famille soit libre.
11) Dans cette question, on suppose que est plate. Montrer que . Si de plus, , en déduire que .

On revient au cas général où est une application bilinéaire symétrique non nulle.
12) Montrer que l'ensemble des vecteurs réguliers pour est un ouvert de .
13) Montrer que est dense dans .

Dans cette partie, désigne une application bilinéaire symétrique plate de dans , dont le noyau est réduit à . On fixe un vecteur régulier pour .
14) Montrer que est un automorphisme.

Pour tout , on définit l'endomorphisme .
15) En utilisant la définition d'une application bilinéaire plate, montrer que est auto-adjoint.
16) Montrer que pour tous . En déduire qu'il existe une base orthonormée de diagonalisant simultanément tous les endomorphismes .
17) Construire à l'aide de une base qui diagonalise . On pourra utiliser la symétrie de .