CONCOURS 2012

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le but du problème est d'étudier la réduction de matrices définies à partir d'un résultat sur les dénombrements de certaines familles entières, en utilisant les propriétés des polynômes réciproques.

On note l'algèbre des polynômes à coefficients réels. Si , on note son degré. Si désigne le -espace vectoriel des polynômes tels que .

Un polynôme de est dit réciproque de première espèce s'il est non nul et invariant par ; il est dit réciproque de deuxième espèce s'il est non nul et transformé en son opposé par . On note (respectivement ) l'ensemble des polynômes de réciproques de première (respectivement de deuxième) espèce.
2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur ses coefficients pour qu'un polynôme non nul de appartienne à (respectivement à ).
3) Établir que si est réciproque (c'est-à-dire ) et est une racine de , alors est non nul et est aussi une racine de . Montrer par ailleurs que tout polynôme de admet 1 pour racine, et que tout polynôme de de degré impair admet -1 pour racine.
4) Étant donné trois polynômes de tels que , montrer que si deux d'entre eux sont réciproques, alors le troisième l'est aussi. Établir un lien entre les espèces de ces trois polynômes réciproques.
5) Vérifier que implique . Réciproquement, montrer que si , il existe un unique tel que .
6) Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes de de degré impair dans .
7) Montrer que si , alors il existe un unique tel que

Quel est le degré de ?
Soit un élément de réciproque n'admettant ni comme racine.
8) Montrer que est réciproque de première espèce et de degré pair. En déduire qu'il existe tel que pour tout , on ait l'équivalence . Ya-t-il unicité du polynôme ? ?

Si et sont des entiers strictement positifs, on note (respectivement ) l'ensemble des familles à valeurs dans telles que et (respectivement et ).

La notation désigne la restriction d'une application à une partie de son ensemble de départ.
9) Vérifier que et sont des ensembles finis et montrer que l'application

est bien définie et bijective.
Dans toute la suite du problème, on note et les cardinaux respectifs de et .
10) Montrer que et en déduire que .

Si , on note le nombre de parties à éléments d'un ensemble à éléments.
11) Prouver que et en déduire la valeur de .

Si désigne la -algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, d'élément neutre pour la multiplication. On note l'ensemble des matrices inversibles de . Si , on note son déterminant et son polynôme caractéristique.

Dans cette partie, on démontre que pour tous dans , on a l'égalité .
12) Établir le résultat lorsque est inversible.
13) Conclure en considérant la suite .

Soit . On considère désormais les matrices et de , où et ont été définis dans la partie B.
14) Montrer que est diagonalisable. La diagonaliser pour et 1 , et calculer pour et 2 .
15) Montrer que l'application définie par la formule

est un produit scalaire. On suppose désormais muni de celui-ci.
16) Vérifier que la famille définie par , est une base de et évaluer pour . En déduire que est définie positive. Que peut-on en conclure sur les rangs de et de ?

Pour , on note l'application définie par la formule . La notation désigne la dérivée -ième d'une fonction .
17) Pour fixé, vérifier que pour tous quand . Montrer que la formule suivante :

définit un polynôme dont on déterminera les coefficients.
18) Montrer que est une base orthonormale de . (On pourra au préalable calculer pour .)

On considère l'endomorphisme de défini par . On note sa matrice dans la base canonique et son inverse.
19) Expliciter et et les comparer à la matrice de passage de à . En déduire en fonction de , puis les valeurs de et .

On considère la matrice de définie par