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Mines Mathématiques 1 MP 2010

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Algèbre généraleSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSuites et séries de fonctions
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Mines
Année
2010
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2010MP MathsMaths 2010
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2010

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, enstim, TELECOM INT, TPE-EIVP.Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème de Dirichlet

Si est une partie d'un espace vectoriel de dimension finie sur ou sur , on note le -espace vectoriel des applications continues de dans . Les notations et désignent respectivement
  • le disque ouvert
  • le disque fermé
  • le cercle .
À une fonction quelconque on associe
  • les coefficients de Fourier
  • la fonction définie par la formule suivante, dont l'existence sera traitée dans la question 1) :
où désigne le complexe conjugué de ;
  • la fonction définie par
Pour , on note et les fonctions de définis par
Le but du problème est de caractériser de différentes manières le prolongement de f à .

A. Prolongement harmonique

Si est un ouvert de on note . Pour toute fonction , on note la fonction définie par la formule . La fonction est dite de classe si est de classe au sens des fonctions de deux variables réelles. On note alors la fonction définie sur par
Dans cette partie, on fixe une fonction et on se propose de montrer que est l'unique fonction qui vérifie les propriétés suivantes :
(a1) la restriction de à coïncide avec ;
(a2) est continue sur ;
(a3) la restriction à est de classe et pour tout .
On va d'abord montrer que vérifie ces conditions. La condition (a1) est évidemment vérifiée.
  1. Montrer que les deux séries qui entrent dans la définition de sont convergentes pour tout .
    Soit la somme d'une série entière de rayon de convergence .
  2. Au moyen d'une dérivation terme à terme d'une série de fonctions de variable réelle, justifier que l'application admet une dérivée partielle par rapport à qui est continue sur , et exprimer sous la forme de la somme d'une série.
  3. Montrer que est de classe sur et déterminer pour tout .
  4. En déduire que est de classe sur et que pour tout .
On fixe , et on note pour tout .
5) En tenant compte de la définition des dans l'expression de , montrer que
  1. Déterminer pour et , où . Donner la valeur de l'intégrale et étudier le signe de pour tout .
  2. Montrer que si est une suite d'éléments de qui converge uniformément vers sur , alors converge uniformément vers sur .
  3. Soit le sous espace vectoriel de engendré par . Justifier que tout élément de est limite uniforme d'une suite d'éléments de , et en déduire que est continue sur .
On se donne maintenant une fonction vérifiant les conditions (a1), (a2) et (a3) et on se propose de démontrer que .
9) On suppose dans cette question que est la fonction nulle et que est à valeurs réelles. Soit et définie par .
Montrer que pour tout . En déduire que pour tout (on pourra considérer, après en avoir justifié l'existence, un point où atteint son maximum.)
10) Conclure dans le cas particulier de la question précédente, puis dans le cas général. (On pourra d'abord étendre la conclusion au cas où est nulle mais est à valeurs complexes.)

B. Deux applications

Première application. On considère la fonction définie sur par .
11) Montrer que vérifie la condition (a3) et en déduire, pour tout , la valeur de l'intégrale
Deuxième application. Soit une application continue définie sur un ouvert de . Si et , on note et .
12) Montrer que est de classe et telle que sur si et seulement si, pour tout disque fermé contenu dans et pour tout , on a
Pour , on note une fonction de classe telle que sur .
13) Déduire de la question précédente que si la suite converge uniformément vers une fonction , alors est également de classe et telle que sur .

C. Propriétés duales

Dans cette partie, on fixe et on considère l'application
où est muni de la norme définie par
pour tout . Pour toute application , on considère les quatre propriétés suivantes :
(c1) est une forme -linéaire et continue;
(c2) ;
(c3) ;
(c4) .
14) Montrer que vérifie ces quatre propriétés.
15) Montrer que si vérifie les conditions (c1), (c2) et (c3), alors .
Dans la suite de cette partie, on se donne vérifiant les conditions (c1), (c2) et (c4), et on se propose de démontrer que .
Dans les deux questions suivantes, on se donne et on considère une fonction à valeurs réelles . Soit définie par la formule pour tout .
16) Calculer en fonction de et de .
17) En étudiant , montrer que puis que .
18) En déduire que pour tout , et conclure.

Fin du problème

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