J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Mines Mathématiques 1 MP 2009

Problème des moments

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
Logo mines
🔗 Explorer
Banque
Mines
Année
2009
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2009MP MathsMaths 2009
2025_08_29_de817fd4e510fa465c75g
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Problème des moments

On note l'ensemble des fonctions continues, définies sur , à valeurs positives ou nulles, et vérifiant l'équation
Lorsqu'elle existe, la fonction caractéristique de est la fonction définie par la formule
Lorsque pour un entier , la fonction est intégrable sur , on appelle moment d'ordre de la quantité
Si, pour tout entier , la fonction est intégrable sur , on dit que admet des moments de tous ordres.
On admettra que pour tout ,

A. Questions préliminaires.

Les résultats de ces questions, indépendantes les unes des autres, pourront être utilisés dans la suite du problème.
  1. Soit . On suppose, dans cette question, que admet des moments de tous ordres.
    Montrer l'existence de et de ses dérivées successives que l'on exprimera à l'aide de .
  2. Montrer que pour tout réel et tout entier ,
  1. Soit tels que . Montrer que la fonction définie sur par
est continue sur .
4) Montrer que pour tout réel .
5) Montrer que pour tout entier .

B. La fonction caractérise

On considère la fonction définie pour tout par la formule
et la fonction définie pour tout par la formule
On admet que .
6) Exprimer à l'aide de .
7) Soit . Calculer la limite de quand (on discutera de cette limite en fonction des signes de et ).
8) Soit tels que . Montrer que
  1. En déduire qu'étant donné deux fonctions et de , si , alors .

C. La suite ne caractérise pas toujours

On définit la fonction par
  1. Montrer que .
  2. Montrer que admet des moments de tous ordres et calculer pour tout .
On introduit, pour , la fonction définie sur par la formule
  1. Montrer que , et que pour tout .

D. Une condition sur la suite

Dans cette partie, est une fonction de qui admet des moments de tous ordres, et vérifie en outre la condition (U) suivante :
(U) Il existe tel que pour tout entier .
On pose pour tout entier .
13) Montrer que, pour tout entier , on a l'inégalité
  1. En déduire que la suite de terme général est majorée par .
  2. Montrer que pour tous et réels, et pour tout entier ,
  1. Montrer que, pour un certain que l'on exprimera en fonction de , on a l'égalité
pour tout réel et pour tout tel que .
17) En déduire que si est un entier et une fonction de admettant des moments de tous ordres tels que pour tout , alors
pour tout (on pourra procéder par récurrence).
18) Conclure.

E. Application

  1. Résoudre en le système d'équations suivant:
pour tout entier . (On pourra utiliser la fonction caractéristique de .)
Fin du problème
Mines Mathématiques 1 MP 2009 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa