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Mines Mathématiques 1 MP 2007

Séries et caractères

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Algèbre généraleSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
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Banque
Mines
Année
2007
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2007MP MathsMaths 2007
2025_08_29_dd2966d2b223287f7edbg
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Séries et caractères

Dans tout le problème, désigne l'ensemble des entiers, , l'ensemble des entiers relatifs et un entier supérieur ou égal à 2 .
L'ensemble des classes d'équivalence pour la division euclidienne par est noté . L'élément générique de cet anneau sera noté . On note l'ensemble des éléments de qui sont premiers avec . L'ensemble des éléments inversibles pour la multiplication de est noté . On rappelle que , l'indicatrice d'Euler, est telle que représente le cardinal de . Si divise dans , on notera .
On rappelle aussi le lemme suivant : soit ( ) et ( ) deux suites réelles. Si pour tout entier , on pose
alors
pour entiers tels que . On rappelle que pour tout ,
On suppose fixée une application de dans qui satisfait les propriétés suivantes:
A. et non identiquement nul.
B. Pour tout , non premier avec ,
C. Pour tous les entiers relatifs et ,
D. est -périodique :

I Cas particuliers

  1. Calculer .
  2. Lorsque , déterminer .
On suppose jusqu'à la fin de cette partie que .
3. Montrer que ne peut prendre que les valeurs 1 ou -1 .
4. On suppose maintenant que . Montrer la convergence et calculer la valeur de la série

II Convergence de la série

Dans cette partie, est un entier supérieur ou égal à 1 et premier avec . Pour , on désigne par le reste de la division de .
5. En considérant le produit , montrer que est divisible par .
6. Montrer que .
7. Montrer que les sont deux à deux distincts.
8. Établir l'identité:
On suppose dorénavant qu'il existe premier avec tel que .
9. Pour chaque entier , calculer . On pourra commencer par le cas .
10. Montrer, pour tout , l'inégalité
  1. Montrer que la suite est convergente.

III Comportement asymptotique

Pour tout entier , on pose
  1. Soit et deux entiers strictement positifs, premiers entre eux. Montrer que .
  2. Soit un nombre premier et . Calculer .
  3. Pour tout entier , établir l'encadrement:
  1. Pour tout entier , montrer que .
  2. Déterminer le rayon de convergence de la série
On note la somme de cette série.
17. Montrer pour tout :
On pourra utiliser une comparaison d'une série à une intégrale.

FIN DU PROBLÈME

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