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Mines Mathématiques 1 MP 2005

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales à paramètres
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Banque
Mines
Année
2005
Filière
MP
Matière
Maths
Mines MPMines 2005MP MathsMaths 2005
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIERE ÉPREUVE

Filière MP
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1 - Filière MP.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Avertissement : dans ce problème, apparaissent de nombreuses intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématiquement l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est pas explicitement demandé.
Pour une suite de réels , on note (respectivement ), la plus petite (respectivement la plus grande) des valeurs d'adhérence de .
On rappelle qu'une suite converge si et seulement si elle n'admet qu'une seule valeur d'adhérence finie.
Pour une suite de fonctions à valeurs réelles ( ), on note la fonction qui à tout réel associe .

I. Calculs préliminaires

On note l'ensemble des fonctions strictement positives, continues sur , pour lesquelles il existe (dépendant de ) tel que, pour tout réel :
On note , le sous-ensemble de des fonctions telles que:
Dans tout le reste de l'énoncé, est un élément de .
  1. Soit définie par
En particulier
Montrer que est un -difféomorphisme de sur .
2) Montrer qu'il existe une unique fonction de dans telle que, pour tout réel , on ait
  1. Montrer que est monotone et que est un -difféomorphisme de sur .
  2. Pour tout réel , calculer
et
  1. Soit une fonction continue par morceaux de dans telle que la fonction soit intégrable sur .
    Montrer l'identité suivante:
  1. Montrer qu'il existe un réel tel que pour tout réel , on ait:
  1. Montrer qu'il existe un réel tel que pour tout réel , on ait:
  1. Déterminer une primitive de la fonction
  1. Calculer l'intégrale suivante

II. Une inégalité intéressante

On introduit les notations suivantes:
  1. Justifier la convergence de ces deux intégrales.
  2. Montrer l'identité :
  1. Montrer l'égalité suivante:
  1. Quelle est la relation d'ordre entre et ?
  2. Déterminer les fonctions telles que .

III. Extension aux fonctions positives

On veut maintenant étendre le résultat de la question 13 aux fonctions qui peuvent s'annuler. On considère donc une fonction continue positive qui satisfait les mêmes hypothèses que , à la différence près que peut s'annuler. Soit la fonction définie par , on convient que est prolongée par continuité en 0 par .
Pour tout entier , on pose
  1. Montrer que ( ) converge vers quand tend vers l'infini.
  2. Soit la fonction associée à , comme était associée à dans la question 2. Pour tout réel , on note
Montrer que pour tout réel et pour et :
  1. On note respectivement et les bornes inférieure et supérieure de l'ensemble des tels que :
Lorsque est strictement positive au voisinage de (respectivement ), on obtient (respectivement ) de sorte que
Montrer que pour et est strictement croissante et
  1. On note l'ensemble des points de discontinuité de . Pour élément de , on note
Pour , soit
On fixe entier non nul, montrer que le cardinal de est inférieur à .
19) Que peut-on dire du cardinal de ?
20) Montrer que si alors est nulle sur .
21) Montrer que si alors est continue en .
22) Montrer que si est continue en alors .
23) Notons l'ensemble des points de continuité de et une partie compacte de . Soit fixé.
Montrer qu'il existe dans des réels tels que:
(a) ,
(b) pour et quels que soient et tels que .
24) Déduire des questions 20 à 23 que ( ) converge uniformément sur , vers .
25) Montrer qu'il existe et assez grands tels que pour tout , on ait:
En déduire que
On note ce nombre.
26) Montrer que pour tout ,
Indication : Soit fixé. Soit ( ) la suite des points de discontinuité de dans . Pour tout entier non nul, introduisons
On majorera séparément les intégrales sur et sur .
27) Conclure.

FIN DU PROBLÈME

Le problème de transport de Monge consiste à optimiser le coût global du transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni-dimensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infiniment fin dont le poids entre les abscisses et est donnée par . On veut le déplacer vers un tas de sable de densité linéique . Cela est représenté par une application de dans qui pour tout réel u donne l'abscisse, , du grain situé en u après le transport. On montre que l'application déterminée en question 2 minimise le coût du transport défini par , parmi toutes les fonctions possibles. L'objectif de ce problème est de majorer ce coût minimal par une quantité qui ne dépend que de et qui ne nécessite pas le calcul de . Le nombre est appelée l'entropie de Boltzmann.
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