Mines Mathématiques 1 MP 2002

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE

Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit la suite des réels définis par les relations suivantes:
, pour tout entier naturel supérieur ou égal à .
Les réels sont les coefficients du binôme ; le nombre réel , noté aussi , est égal au cardinal de l'ensemble des parties ayant éléments d'un ensemble ayant éléments.

I-1. Fonction :
Soit la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante :

a. Démontrer que la fonction est développable en série entière sur la droite réelle .
b. Étant donné un entier naturel , soit le réel égal à la valeur de la dérivée -ième de la fonction en 0 :

Démontrer, en admettant les conventions habituelles , la relation suivante :

c. Établir, pour tout entier naturel , une relation de récurrence exprimant en fonction de .

En déduire l'expression suivante du réel en fonction de :

Soit une suite de réels strictement positifs ( ); on suppose que, pour tout entier naturel , la série de terme général , est convergente. Soit sa somme :

a. Démontrer que, pour tout entier donné supérieur ou égal à , lorsque l'entier croît vers l'infini, le réel est équivalent au reste d'ordre de la série défini par la relation : ; c'est-à-dire :

b. Étant données deux suites et de réels strictement positifs ( ), démontrer que, si les réels et sont équivalents lorsque l'entier croît vers l'infini ( ), les deux suites de réels et définis par les relations suivantes :

sont équivalentes, lorsque l'entier croît vers l'infini :

Étant donné un entier strictement positif ( ), soit la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante :

Étant donné un entier strictement positif ( ), soit le réel défini par la relation suivante :

a. Étudier, pour un entier donné, la convergence de la série de terme général , ; soit la somme de cette série :

b. Démontrer, lorsque l'entier croît vers l'infini, l'équivalence suivante :

Étant donné un réel strictement positif ( ), soit la fonction définie sur la demi-droite ouverte , par la relation suivante :

a. Déterminer des équivalents de dans des voisinages de 0 et de l'infini.
b. Déterminer les variations de la fonction sur la demi-droite ouverte ; établir en particulier l'existence d'un réel en lequel la fonction atteint son maximum.
c. Soit la fonction qui, au réel , associe le réel . Démontrer que cette fonction , définie sur la demi-droite , est continûment dérivable.

Pour tous réels et strictement positifs, la relation ci-dessous, dans laquelle le réel est l'image par la fonction du réel , est admise :

a. Démontrer que, pour tout entier strictement positif, la fonction admet un maximum en un unique point . Est-ce que la fonction est continûment dérivable sur la droite réelle ?
b. Établir les propriétés suivantes vérifiées par les réels :
i. En admettant les inégalités suivantes,

démontrer que les réels vérifient les encadrements suivants :

ii. le réel est négligeable devant l'entier lorsque l'entier croît vers l'infini :

iii. pour tout réel compris strictement entre 0 et 1 , le réel est négligeable devant , lorsque l'entier croît vers l'infini :

Étant donné un entier strictement positif ( ), soit la fonction définie sur la droite réelle par la relation suivante :

a. Vérifier, pour tout entier strictement positif et tout réel , la relation suivante :

b. Donner l'allure du graphe de la fonction .
c. Démontrer que la suite de fonctions converge simplement vers une fonction ; expliciter cette fonction .
d. Démontrer qu'il existe un entier tel que, pour tout entier supérieur ou égal à ( ) et tout réel strictement supérieur à , la fonction vérifie la majoration suivante :

a. Soit la fonction définie par la relation suivante :

Démontrer que cette fonction se prolonge en une fonction dérivable sur la demi-droite ouverte ; démontrer que cette fonction est décroissante sur cet intervalle. Préciser son signe.
b. En déduire que, pour tout entier supérieur ou égal à l'entier introduit à la question III-1.d, la fonction , définie sur la droite réelle, vérifie les majorations suivantes :

Recherche d'un équivalent du réel lorsque l'entier croît indéfiniment.

Démontrer que, pour tout entier strictement positif, la fonction est intégrable sur la droite réelle. Soit la valeur de son intégrale :

Démontrer que la suite de réels est convergente. Il est admis que la limite de cette suite est égale à .

IV-2. Un encadrement de la somme :
Étant donné un entier strictement positif, d'après la question I-3.a, le réel est la somme de la série de terme général .

Déterminer des réels et tels que la somme soit encadrée de la manière suivante au moyen de l'intégrale :

Les réels et seront explicités en fonction de et de la fonction . La suite tend vers 0.

Indication : Soit l'entier égal à la partie entière du réel ; cet entier est défini par les inégalités ci-dessous :

Déterminer des encadrements des deux sommes et définies par les relations suivantes :

IV-3. Un équivalent du réel :
Déduire des résultats précédents un équivalent du réel lorsque l'entier croît vers l'infini.