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Mines Mathématiques 1 MP MPI 2024

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
Mines
Année
2024
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
Mines MP/MPIMines 2024MP/MPI MathsMaths 2024
2025_08_29_867b22e4e7ce11f13290g

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application

Le but de ce sujet est de calculer l'intégrale de Dirichlet généralisée
et d'utiliser ce calcul pour évaluer une espérance.

Partie I: Calcul d'une intégrale

Dans tout ce qui suit, est un élément de fixé.
Montrer que pour tout , la fonction définie par
est définie et intégrable sur .
Soit la fonction définie par
Montrer que la fonction est de classe sur et que :
Soit la fonction définie par
Montrer que la fonction est de classe sur et que pour tout ,
où est la fonction définie par
Calculer et
En déduire que la fonction est constante sur .
Montrer que pour tout ,
En déduire que :
où .
Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que :
7 - En déduire que

Partie II: Une expression (utile) de la fonction sinus

On rappelle que est un élément de fixé.
8 - Montrer que
Montrer que :
Établir l'identité
En déduire que l'on a
En déduire enfin que:

Partie III : Calcul d'une intégrale de Dirichlet généralisée

Montrer que l'intégrale
converge et que :
Montrer que pour tout :
En déduire que :
En déduire que :
Dans le cas , cette intégrale est communément appelée "Intégrale de Dirichlet".
Montrer que :
Indication : On pourra développer .
En déduire que:

Partie IV : Calcul de

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé ( ). Soient des variables aléatoires indépendantes, de même loi donnée par :
Pour tout , on note .
Déterminer, pour tout et .
Soient et deux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un nombre fini de valeurs réelles. On suppose que et suivent la même loi.
Montrer que :
En déduire que pour tout , et pour tout :
Soient tels que et . Montrer que
où signe pour réel non nul. En déduire que :
Montrer que pour tout
En déduire que pour tout :
Conclure que :

Fin du problème

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