L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème, désigne un entier naturel non nul. On note . de pouvant être ou , et .
Si et sont deux applications linéaires pour lesquelles la notation a un sens, alors on note l'application . De plus, si est un endomorphisme d'un espace vectoriel et est un entier naturel non nul, désigne l'application , où apparaît fois dans l'écriture. Par convention .

On s'intéresse au système différentiel suivant :

avec et est une application de classe de à valeurs dans , telle que . Cela entraîne que si , alors la solution de ce système est la fonction nulle, et donc 0 est un point d'équilibre. Notons l'application différentielle de en 0 . L'objectif de ce problème est d'établir une condition suffisante sur le spectre de pour assurer la stabilité de l'équilibre en ce point, et d'obtenir des informations quant à la dynamique des solutions au voisinage de ce point d'équilibre. Plus précisément, on établit le résultat suivant :

Soit le système différentiel suivant :

avec et est une application de classe de à valeurs dans , telle que et telle que toutes les valeurs propres complexes de aient une partie réelle strictement négative. Alors il existe trois constantes et strictement positives telles que :

où est l'unique solution du système différentiel et désigne la boule ouverte, pour la norme . et de rayon .

Dans une première partie, on étudie une norme sur les endomorphismes des sous-espaces vectoriels de . Dans la seconde partie, on établit des résultats sur le système différentiel linéaire, en se servant des résultats de la partie A . Enfin, la troisième partie est consacrée à la démonstration du théorème de Liapounov. Cette dernière partie est très largement indépendante des deux premières, à l'exception du résultat obtenu à la fin de la partie B .

Soit un sous-espace vectoriel de . Soit un endomorphisme de .

1 - Après avoir justifié l'existence des bornes supérieures, montrer que :

On note . Montrer que est une norme sur .
Montrer qu'il s'agit d'une norme sous-multiplicative, c'est-à-dire que :

et en déduire une majoration de , pour tout entier naturel , en fonction de et de l'entier .

Dans cette partie, a désigne un endomorphisme de .
Montrer qu'il existe un entier naturel non nul , des nombres complexes distincts , , ainsi que des entiers naturels non nuls , tels que:

où pour .

D'après la question précédente, si est un élément de , il existe un unique -uplet tel que . Fixons à présent . On définit alors les endomorphismes :

Par ailleurs, on note la norme sur introduite à la partie A , à savoir

On utilisera la notation pour . Enfin, on notera l'endomorphisme .
Montrer que, pour tout , il existe une constante telle que :

Montrer que, pour est stable par .
Soient . Exprimer puis en fonction des endomorphimes et .
Montrer que : .
En déduire que :

Montrer par ailleurs que :

En déduire l'existence d'un polynôme à coefficients réels tel que :

où désigne la partie réelle d'un nombre complexe .
Pour toute matrice , on notera l'endomorphisme canoniquement associé à dans et l'endomorphisme de canoniquement associé à , vue comme une matrice de . On conservera la notation pour la norme introduite à la partie A sur et on utilisera sur . Montrer qu'il existe telle que :

Dans la suite de cette partie, on considère un endomorphisme de , et sa matrice dans la base canonique. On notera par ailleurs, le spectre complexe de . Notons l'unique solution de classe sur de :

Montrer que :

On se place dans cette question dans le cas où toutes les valeurs propres de ont une partie réelle strictement négative. Montrer alors qu'il existe deux constantes et strictement positives telles que :

et en déduire une majoration de pour .

On considère dans cette partie une application de dans de classe telle que , et en notant , telle que toutes les valeurs propres de aient une partie réelle strictement négative.
Soit . On s'intéresse au système différentiel suivant :

On admettra l'existence d'une solution de ce système définie sur , que l'on notera .
Montrer que la fonction

est bien définie et qu'elle définit un produit scalaire sur .
On notera la forme quadratique associée à , c'est-à-dire que pour tout .
Démontrer alors que:

Pour toute fonction définie sur , on associe la fonction définie par :

Vérifier l'égalité

Prouver l'existence de deux nombres réels et strictement positifs tels que, pour tout , on ait:

On fixe un tel couple pour la suite de ce problème.
Montrer alors que :

En déduire l'existence de trois constantes et strictement positives telles que :

où désigne la boule ouverte, pour la norme . et de rayon .

Fin du problème