ENSAI Mathématiques 1 MP 2002

concours d'élève titulaire de l'ENSAI concours externe d'attaché de l'INSEE

MAI 2002

Option A. - MATHÉMATIQUES

première composition de mathématiques
Durée : 4 heures

L'usage des calculatrices est interdit

Le sujet comprend 3 pages ( compris celle-ci).

Dans tout le problème désigne un entier supérieur ou égal à 1 .
Soit un espace vectoriel de dimension finie sur . Si , l'endomorphisme sera noté et l'on pose .
Pour on note l'endomorphisme de défini par

On rappelle le théorème de décomposition en noyaux :
Soit ses valeurs propres distinctes et leur multiplicité respective; alors

L'objet du problème est d'étudier dans quelques cas particuliers des propriétés du «< crochet >> [, ].

On suppose dans cette question que est l'ensemble des polynômes de degré au plus , à coefficients dans , et l'on pose pour

a) Calculer .
b) Soit , un sous-espace de stable par , et un élément de . En examinant les degrés des images successives de par et par , prouver que .
désigne maintenant un -espace vectoriel quelconque de dimension finie. On considère 3 éléments de notés et vérifiant :

On note le sous-espace vectoriel qu'ils engendrent.
Prouver que .
Soit un sous-espace de tel que

a) Montrer que si contient un élément avec , alors .
b) Prouver que si alors (on pourra se ramener à la question précédente)
a) Soit un vecteur propre de ; prouver que si , alors est un vecteur propre de .
b) En déduire qu'il existe un vecteur propre de tel que .

Dans la suite de cette partie, on note un tel vecteur, et on note la valeur propre de associée.
a) Calculer où est un entier naturel.
b) En déduire qu'il existe tel que et .
c) Prouver que pour est colinéaire à .
On suppose que ne contient aucun sous-espace stable par autre que et . On pose

a) Justifier que est stable par et . Que peut-on en déduire?
b) Montrer que la famille est une base de .
c) Déterminer la matrice de dans la base .
d) En examinant , prouver que .
Déterminer la matrice de dans la base .

Dans cette partie désigne toujours un -espace vectoriel de dimension finie.
Prouver qu'un endomorphisme de possède une seule valeur propre si et seulement s'il existe tel que soit nilpotent.
Soit et deux endomorphismes nilpotents commutant entre eux. Prouver que est nilpotent.
Soit un endomorphisme de ; on pose et .
a) Prouver qu'il existe tel que et .
b) Prouver que et sont deux sous-espaces supplémentaires, stables par , tels que restreint à soit nilpotent et que restreint à soit bijectif.
c) Prouver réciproquement que si où et sont deux sous-espaces stables par tels que la restriction de à soit nilpotente et la restriction de à bijective, alors et .
On vient donc de prouver l'existence et l'unicité de tels sous-espaces et .

Dans cette partie, désigne une matrice de , et l'on note l'endomorphisme de défini par

a) Montrer que les valeurs propres de l'endomorphisme de défini par sont les valeurs propres de .
b) Déterminer les valeurs propres de l'endomorphisme de défini par .

Étant donnée , on considère et deux valeurs propres de de multiplicité respective et . On pose

a) Prouver que le sous-espace de est stable par .
b) Prouver que la restriction de à admet pour unique valeur propre (on remarquera que .
a) Soit et deux familles de vecteurs de . Prouver que si les familles et sont libres, la famille , qu'on notera , est libre.
b) Soit et deux valeurs propres de . On note une base de et une base de . Prouver que la famille est une base de .
c) En déduire que où Spec désigne l'ensemble des valeurs propres de .
Déterminer (on utilisera la question II. ).
a) Soit des entiers positifs ou nuls tels que . Prouver que est minimal lorsque .
b) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que soit minimale.