X ENS Physique U PSI 2024

JEUDI 18 AVRIL 2024
08h00-14h00
FILIERE PSI - Epreuve n

PHYSIQUE (U)

Un atome de Rydberg est un atome dans lequel un des électrons a été promu dans une orbitale de nombre quantique élevé. L'électron orbite donc très loin du noyau et l'atome est alors très facilement polarisable. Cette caractéristique permet d'amplifier les interactions interatomiques, même pour des atomes relativement distants les uns des autres. Cette propriété est mise à profit afin de réaliser expérimentalement des bits quantiques (dits aussi qubits) qui pourraient servir de briques élémentaires pour la réalisation d'un futur ordinateur quantique.

Il est divisé en deux parties. Dans la première partie on s'intéresse au piégeage d'atomes neutres dans un piège lumineux baptisé pince optique. La deuxième partie s'intéresse aux propriétés des atomes de Rydberg. En partant d'un modèle semi-classique de l'atome d'hydrogène on y calcule la polarisabilité d'un atome de Rydberg sous l'effet d'un champ extérieur. Le sujet se conclut par l'analyse d'une expérience mettant en évidence les interactions entre atomes de Rydberg

Notations : dans ce sujet on utilisera la notations suivantes

Par convention on posera .
Enfin, on introduira les intégrales suivantes

pour lesquelles on admettra que

Notations complexes. À chaque grandeur oscillant sinusoïdalement avec une pulsation , on associe une grandeur complexe tel que , où désigne la partie réelle.

On rappelle par ailleurs que pour une grandeur périodique la valeur moyenne de est définie par

où est la période de .

Développement de Taylor à l'ordre 1 d'une fonction de plusieurs variable ( ) au voisinage de 0 :

On donne l'expression de l'opérateur gradient en coordonnées sphériques ( )

où ( ) désigne les vecteurs de base du repère sphérique.
Pour un champ vectoriel , on admet l'identité

Enfin on rappelle l'expression du double produit vectoriel

Question préliminaire: On considère deux grandeurs physiques oscillant toutes deux à la pulsation . On note les grandeurs complexes associées. Donner l'expression de la moyenne temporelle en fonction et de leurs complexes conjugués.

Q[2] On considère ici le cas simple d'un atome à un électron. Dans le modèle de Thomson (dit aussi modèle du plump pudding) on décrit le noyau comme une boule de rayon uniformément chargée en volume. On note la densité de charge correspondante. Relier et

Q[3] En appliquant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique à l'intérieur et à l'extérieur du noyau. On exprimera le résultat à l'aide de et .

Q[4] Rappeler la relation entre le potentiel électrostatique et le champ électrique. Quelles conditions de passage satisfait-il à l'interface du noyau?

Q[5] Pourquoi peut-on prendre arbitrairement ? En déduire sous cette hypothèse l'expression de partout dans l'espace.

Q[6] Tracer l'allure du potentiel en fonction de la position.
Q[7] On considère à présent un électron situé à une distance du centre du noyau. Montrer que le noyau exerce une force

sur l'electron. Donner l'expression de en fonction de et .
Q[8] Interaction avec un laser. On éclaire l'atome à l'aide d'un faisceau laser que l'on décrit par un champ électrique de pulsation , de vecteur d'onde et d'amplitude dépendant lentement de la position par rapport à la longueur d'onde. On écrit le champ complexe sous la forme

Rappeler sans calcul le lien entre l'amplitude du champ électrique et du champ magnétique d'une onde électromagnétique plane et monochromatique.

Q[9] On suppose le noyau infiniment lourd et placé en . Écrire la force totale s'exerçant sur l'électron dans l'hypothèse où . Montrer que dans l'approximation non relativiste on peut négliger la force de Lorentz exercée par le champ magnétique de l'onde, ainsi que la dépendance spatiale du champ électrique de l'onde électromagnétique incidente.

Q[10] En déduire l'expression de l'amplitude complexe de la composante du mouvement de l'électron oscillant à la pulsation .

Q[11] On note le moment dipôlaire électrique de l'atome. Montrer qu'en régime forcé on a

où désigne la polarisabilité de l'atome.
Q[12] Quelle est la dimension de ? Exprimer la en fonction de et du volume de l'atome de Thomson. Tracer son allure en fonction de et interpréter son comportement au voisinage de .

Q[13] On suppose que l'atome de rubidium peut être décrit par le modèle précédent. Sachant qu'il possède une raie d'absorption à une longueur d'onde , déterminez dans ce modèle le volume de l'atome de Thomson correspondant. Commentez.

Q[14] On considère à présent la dynamique de l'atome dans son ensemble et on note sa position identifiée à celle du noyau. En écrivant les forces s'appliquant sur le noyau et l'électron, montrer que la force électromagnétique exercée sur l'atome peut s'écrire approximativement

où et désignent les champs électriques et magnétiques de l'onde incidente évalués en . Préciser le domaine de validité de cette approximation. En particulier, expliquer pourquoi la force magnétique ne peut plus être négligée.

Q[15] Déduire de la question précédente que la force moyenne exercée par le laser sur l'atome dérive d'une énergie potentielle s'écrivant

On supposera pour simplifier que est réel.
Q[16] On introduit le désaccord à résonance . Donner une expression approchée de pour .
Montrer que suivant le signe de l'atome est attiré vers les régions de faible ou forte intensité lumineuse.
Q[18] On considère des atomes de rubidium interagissant avec un laser de longueur d'onde et d'intensité . Rappeler sans démonstration le lien entre et .

Q[19] Montrer que l'atome est attiré vers le foyer du faisceau laser. En déduire l'expression de la profondeur du puits de potentiel en fonction de et .

Q[20] Faire l'application numérique. À quelle température faut il refroidir l'atome pour le maintenir piégé?

Q[21] Focalisation d'un faisceau laser. Afin de maximiser l'intensité lumineuse au niveau des atomes on focalise le laser à l'aide d'une lentille convergente de distance focale . On considère le dispositif schématisé sur la figure 1 et s'intéresse au diamètre minimal réalisable à l'aide d'une lentille donnée. Le faisceau lumineux possède un diamètre initial et les rayons émis sont approximativement parallèles à l'axe optique .

À quelle distance de la lentille le faisceau est-il focalisé?
Q[22] Dans l'approximation de l'optique géométrique, quel est le diamètre du faisceau au point de focalisation? Quelle est l'intensité correspondante?

Q[23] Afin d'obtenir une estimation plus réaliste du diamètre du faisceau au niveau du foyer on utilise un argument fondé sur le Principe d'incertitude d'Heisenberg appliqué aux photons du faisceau. Toujours dans l'approximation de l'optique géométrique, donner l'angle maximale d'inclinaison de la trajectoire d'un photon après la traversée de la lentille en fonction de et (on supposera petit).

Q[24] En déduire la composante maximale correspondante de la projection du vecteur d'onde selon .

Q[25] Pour une particule quantique, comment la quantité de mouvement et le vecteur d'onde sont-ils reliés? En déduire la plage de quantité de mouvement occupée par les photons du faisceau après la traversée de la lentille.

Q[26] Dans le cas d'une lumière cohérente comme celle d'un laser, on admet que la dispersion estimée à la question précédente correspond à la dispersion quantique de la fonction d'onde des photons du laser. En déduire la valeur minimale de la taille du faisceau dans la direction .

Q[27] La formule précédente fait-elle intervenir ? Expliquer pourquoi.
Q[28] D'après ce qui précède, comment faut-il choisir le diamètre de la lentille si l'on veut maximiser l'intensité lumineuse au foyer?

Principe de l'ingénierie de front d'onde par SLM : Afin de positionner les atomes dans l'espace on déplace le foyer du faisceau laser à l'aide d'un SLM (Spacial Light Modulator) qui permet de créer un profil de phase arbitraire, par exemple à l'aide d'une matrice de cristaux liquides (voir Fig. 2).

Q[29] Expliquer pourquoi il suffit de changer l'angle d'incidence du faisceau sur la lentille pour décaler le point de focalisation du laser transversalement à l'axe optique. En négligeant les aberrations, et en supposant toujours faible l'inclinaison des faisceaux par rapport à l'axe optique, donner la valeur de son décalage selon , noté , en fonction de l'angle initial d'inclinaison avant la lentille.

Q[30] D'après le principe d'Huygens-Fresnel, pour une onde se propageant dans une direction donnée (ici vers les croissants), la connaissance du champ électrique dans un plan normal à la direction de propagation permet de le connaître dans tout l'espace. En considérant le cas d'une onde plane, quel est le champ électrique généré en tout point de l'espace par un champ de pulsation et dont la valeur dans le plan est ?

Q[31] On suppose que l'on éclaire le SLM à l'aide d'une onde plane d'amplitude se propageant parallèlement à l'axe et on le programme de façon à ce que le déphasage subi par la lumière à la traversée des cristaux liquides soit de la forme

Écrire le champ électrique à la sortie du SLM. Développer son expression à l'ordre 1 en puissance de .
Q[32] Déduire que le faisceau incident va se diviser en trois faisceaux transmis inclinés par rapport à l'axe optique avec des angles que l'on précisera (on supposer le rapport petit).

Q[33] Expliquer pourquoi un profil de phase de la forme

pourrait permettre de réaliser une matrice de puits de potentiel illustrée sur la figure 3.b.

On considère à présent un modèle plus réaliste dans lequel l'électron orbite autour d'un proton que l'on suppose ponctuel et infiniment lourd. Dans la suite on notera respectivement et la position de l'électron par rapport au proton ainsi que sa quantité de mouvement.

Q[34] Quelle force s'exerce sur l'électron? Comment s'écrit dans ce cas le principe fondamental de la dynamique pour l'électron.

Q[35] Montrer que le moment cinétique est conservé.
Q[36] En déduire que la trajectoire est plane. On choisira dans la suite l'axe orthogonal au plan de la trajectoire.

Q[37] Donner l'expression du moment cinétique en coordonnées polaires ( ) dans le plan de la trajectoire.
Q[38] Montrer que le vecteur

où , est une constante du mouvement (baptisée vecteur de Runge-Lenz).
Q[39] Montrer que est dans le plan de la trajectoire. Dans la suite, on choisira l'axe aligné selon le vecteur et on note en conséquence l'angle entre et .

Q[40] En projetant le vecteur de Runge-Lenz sur le vecteur , montrer que la trajectoire de l'électron peut s'écrire

Exprimer et en fonction de .
Q[41] On admet que cette équation est celle d'une ellipse et est baptisé "excentricité de l'ellipse". Quelle trajectoire particulière obtient-on dans le cas où ?
On note demi-grand axe de l'ellipse la quantité . Représenter graphiquement sur la trajectoire de l'électron. Donner l'expression de en fonction de et .

Q[43] Montrer que l'énergie mécanique de l'électron peut se mettre sous la forme

où .
Q[44] En déduire que

Q[45] Montrer que la période de la trajectoire de l'électron peut s'écrire

Q[46] En déduire que

Comment cette loi s'appelle-t-elle?
Q[47] Montrer que le dipôle électrique moyenné sur une trajectoire vaut

Indication : on pourra introduire la fonction donnée en préambule et la relier à la dérivée de .

Le modèle de Bohr-Sommerfeld est historiquement le premier modèle expliquant la quantification des niveaux atomiques. On suppose dans ce modèle que la dynamique des électrons est analogue à celle décrite à la partie précédente, mais que seules certaines trajectoires sont permises.

Cependant, on peut montrer qu'un électron se déplaçant sur une trajectoire périodique rayonne un champ électromagnétique de pulsation . Du point de vue quantique ceci correspond à une émission de photons de pulsation permettant de faire passer l'électron d'une orbitale à l'orbitale juste inférieure.

Q[48] À partir des questions précédentes montrer que ne dépend que de l'énergie de l'électron sur sa trajectoire.

Q[49] On note l'énergie du -ième état permis par la mécanique quantique, que l'on classe par ordre croissant de . Montrer que dans la limite des grands, la conservation de l'énergie s'écrit

Q[50] Résoudre cette équation différentielle et en déduire que les énergies se mettent sous la forme

où est une constante d'intégration appelée défaut quantique et où l'on exprimera en fonction de et .

Dans la suite on admettra que la résolution du problème quantique complet aboutit à une valeur nulle du défaut quantique.

Q[51] Montrer que chaque état quantique possède un demi-grand axe s'écrivant

où l'on exprimera en fonction de constantes fondamentales.
Q[52] Donner les valeurs numériques de et (en eV et en Angstrom respectivement).
Q[53] La condition de quantification de l'énergie ne suffit pas à spécifier complètement les orbites permises. Pour cela on rajoute une condition de quantification du moment cinétique, qui ne peut prendre que les valeurs où est un entier positif. Donner l'excentricité de la trajectoire en fonction de et .
Quelle inégalité et doivent-ils vérifier?

On considère à présent un atome polyélectronique de numéro atomique . On suppose qu'un des électrons de valence est promu dans une orbitale fortement excitée de façon à peupler un état de Rydberg. Dans la suite on nommera électrons de cœur les électrons restant proche du noyau.

Q[55] Justifier que quel que soit l'atome, on puisse décrire les propriétés des états de Rydberg en considérant en première approximation la dynamique d'un électron unique gravitant autour d'un noyau central de charge .

Q[56] On suppose que sous l'effet d'un champ électrique externe uniforme , les électrons de coeur acquièrent un dipôle électrique donné par

où désigne la polarisabilité du cœur. Calculer le dipôle induit par la présence de l'électron périphérique en .

Q[57] Par analogie avec la première partie, dépend a priori de la pulsation du champ électrique. En comparant les temps caractéristiques d'évolution des électrons de cœur et de l'électron périphérique pourquoi peut-on se contenter de considérer ici la valeur de à ?

Q[58] On note la position de l'électron de cœur . Montrer que pour on a

Q[59] En déduire que les électrons de cœur et le noyau créent au niveau de l'électron périphérique un potentiel électrostatique

Q[60] En déduire le champ électrique créé par le cœur au niveau de l'électron périphérique et montrer que la déformation du cœur provoque sur l'électron périphérique une force additionnelle de la forme

où l'on exprimera en fonction de et .
Q[61] On cherche à présent à étudier la polarisabilité d'un atome de Rydberg sous l'effet d'un champ électrique extérieur uniforme et constant . En écrivant les équations du mouvement pour l'électron périphérique, montrer que le moment cinétique et le vecteur de Runge-Lenz obéissent aux équations

avec et où l'on négligera l'effet de sur les électrons de cœur.
Pour et suffisamment petits, on peut faire l'hypothèse que les trajectoires restent elliptiques à l'échelle de quelques périodes. On suppose donc que l'on peut toujours associer à ces trajectoires un vecteur de Runge-Lenz, une énergie mécanique, un moment cinétique... qui vont caractériser la forme de l'ellipse sur des échelles de temps suffisamment courte. Pour obtenir l'évolution lente de ces paramètres orbitaux, on suppose que l'on peut juste remplacer le second membre des équations précédentes par leur valeur moyenne sur une période non perturbée, Montrer que dans ce cas

avec

Q[63] En déduire que

Indication : on pourra montrer que la valeur moyenne d'une dérivée par rapport au temps d'une fonction périodique est nulle et utiliser les propriétés du double produit vectoriel.
On considère jusqu'à la question incluse que le champ électrique extérieur est nul. Que dire des variations de dans ce cas. Pour quoi était-ce attendu?

Q[65] On suppose que la trajectoire électronique est initialement dans le plan avec un grand axe parallèle à . Montrer que précesse autour de . Donner l'expression de la pulsation de précession.

Dans la suite on notera cette solution en l'absence de champ extérieur.
Q[66] Interpréter la Figure 3.a. Pourquoi l'atome de Rydberg n'a-t-il pas de moment dipolaire permanent moyen?

Q[67] On rajoute à présent un faible champ extérieur perturbant lui aussi faiblement la dynamique trouvée aux questions précédentes. Montrer qu'à l'odre 1 en , on peut écrire

avec

Calculer explicitement ,
Q[68] En quoi cette solution éclaire-t-elle le graphe de la Figure 3.b?
Q[69] Si l'on moyenne l'équation d'évolution de sur plusieurs périodes de précession, montrer que l'on a

Q[70] Pourquoi le deuxième terme proportionnel à domine-t-il le premier dans le cas d'une orbite très excitée?

Q[71] En déduire que le dipôle électrique moyen de l'atome se met sous la forme

Montrer que pour une orbite très aplatie on a , où est un entier positif dont on déterminera la valeur.

En mécanique quantique, si l'on éclaire un atome à l'aide d'un fasceau laser dont la longueur d'onde est résonante avec la transition entre son état fondamental et un état excité de Rydberg, la transition d'un état à l'autre n'est jamais certaine mais est seulement probabiliste. On peut alors montrer que si le laser est suffisamment puissant, la probabilité de passer de l'état fondamental à l'état excité oscille avec le temps - phénomène dit d'oscillations de Rabi.

Q[73] On considère le cas de deux atomes piégés dans deux pinces optiques voisines et éclairés par le même laser. On note la probabilité que les deux atomes soient dans l'état excité à l'instant . Relier à pour deux atomes suffisamment éloignés. Comparer au résultat de la figure Fig 4.a.

Q[74] On approche à présent les deux atomes. Comparer qualitativement l'énergie nécessaire pour faire passer un atome depuis l'état fondamental au niveau excité, puis celle nécessaire à faire transiter le deuxième atome. Expliquer la différence entre les figures 4.a et 4.b.