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Le sujet comprend 24 pages numérotées de 1 à 24 .

L'annonce de la découverte des ondes gravitationnelles le 11 février 2016, 100 ans après la prédiction de leur existence par Albert Einstein, fut un évènement scientifique majeur de la décennie. Leur détection non seulement valide une prédiction importante de la théorie de la Relativité Générale énoncée en 1916, mais aussi couronne des décennies de prouesses technologiques pour construire des détecteurs capables d'enregistrer leur passage, et ouvre l'ère de l'astronomie gravitationnelle.

Ce sujet comporte quatre parties largement indépendantes, mais les valeurs numériques introduites ou calculées tout le long de l'énoncé sont communes à toutes les parties.

La première partie traite essentiellement de mécanique du point et aborde la génération d'ondes gravitationnelles par des astres massifs. La seconde partie a pour but de décrire un des premiers systèmes de détection mis au point basé sur le principe d'une barre résonante. Les détecteurs interférométriques à la base de la découverte des ondes gravitationnelles sont étudiés largement dans la troisième partie, avec plusieurs sous-parties indépendantes. Une courte quatrième partie conclut le sujet sur la découverte annoncée en 2016.

On appelle rayon de Schwarzschild d'un objet de masse M la quantité

Expression de l'opérateur Laplacien en coordonnées cylindriques

pour une fonction qui dépend spatialement uniquement de

Dans cette première partie, nous allons commencer par étudier la dynamique de deux trous noirs en rotation l'un autour de l'autre. C'est un tel système qui a été à l'origine de la première détection des ondes gravitationnelles. Le système est supposé isolé et les trous noirs sont en interaction gravitationnelle mutuelle. Les centres de masse des deux trous noirs de masse et seront notés et . Soit un référentiel de centre supposé galiléen. Le barycentre du système de deux trous noirs est donné par la relation

On admettra le caractère galiléen du référentiel dit barycentrique lié au point . Il n'est pas question ici de réaliser les calculs en utilisant la Relativité Générale, mais on utilisera une approche newtonienne.

Q1. On suppose que, malgré les aspects relativistes du système étudié, la force gravitationnelle entre les deux corps suit la loi de Newton classique. Exprimer la force exercé par sur en fonction des masses, de la constante de la gravitation et du vecteur .
Q2. Les deux trous noirs et sont animés respectivement d'une vitesse et dans le référentiel galiléen . On pose la vitesse du barycentre dans le référentiel . Exprimer en fonction de et des masses.
Q3. Exprimer le moment cinétique total au point du système et montrer qu'il est conservé au cours du temps. Que cela implique-t-il sur le mouvement des deux trous noirs?
Q4. On pose et la masse dite réduite. À l'aide du principe , puis montrer que

Le problème se réduit donc à l'étude du mouvement d'un mobile fictif de position , de masse , dans un champ de force centrale newtonien , et dans le référentiel supposé galiléen.

Q5. Rappeler sans démonstration les principales propriétés des trajectoires dans les champs à force centrale conservative.

Dans le référentiel , on suppose que le point fictif suit une orbite circulaire de rayon , avec une vitesse notée . On étudie son mouvement en coordonnées polaires d'origine . On note les vecteurs directeurs, étant normal au plan de la trajectoire. A , le point est situé en et possède une vitesse .

Q6. Réaliser un schéma paramétré représentant la trajectoire du point dans le référentiel muni d'un système de coordonnées polaires ainsi que les différentes données pertinentes du problème, puis exprimer littéralement les vecteurs position , vitesse et accélération du point en fonction des vecteurs de base et des paramètres du problème.
Q7. À l'aide de l'équation 2 , montrer que la norme de la vitesse est constante et donner sa valeur. Déterminer la période de révolution de autour du point en fonction de et . Quel nom porte cette loi?

Q8. À l'aide de l'équation 1 , montrer que les trous noirs et suivent aussi des orbites circulaires autour du point dans le référentiel , de rayons respectifs et . Représenter sur un nouveau schéma les trajectoires des points et .

Dans le référentiel barycentrique doté d'un repère cartésien (avec l'axe normal au plan du mouvement), les trajectoires des deux astres en fonction du temps sont données par

avec , tel que sur la figure 2 .

L'observateur muni d'un détecteur d'onde gravitationnelle est situé à une distance du système binaire de trous noirs sur l'axe . En Relativité Générale, l'amplitude (sans dimension) des ondes gravitationnelles est donnée par l'équation matricielle

où et sont ici des matrices . On notera (resp. ) l'élément de la matrice (resp. ). L'équation précédente se réécrit alors terme à terme

avec

Q9. Par une analyse dimensionnelle, relier la quantité à une quantité de mécanique classique. Calculer explicitement les quatre termes en fonction de et .
Q10. Montrer que l'amplitude des ondes gravitationnelles s'écrit

et décrire la forme d'onde attendue. On note la fréquence des ondes gravitationnelles. Relier à la pulsation de l'orbite .

Q11. Montrer que pour un système de deux trous noirs de masses séparés par une distance (avec le rayon de Schwarzschild effectif correspondant à la somme des deux masses). Calculer numériquement le rapport entre leur vitesse relative et la vitesse de la lumière . Vérifier que l'amplitude de l'onde attendue observée à une distance est d'environ . Les données utiles à ces questions sont fournies en début de sujet.

Nous nous intéressons maintenant à la perte d'énergie du système formé par les deux trous noirs, liée à l'émission des ondes gravitationnelles. Les équations de la Relativité Générale prédisent que la puissance rayonnée en ondes gravitationnelles sur une sphère de rayon est donnée par

avec la matrice définie par

où désigne la trace de la matrice définie équation 4. Les chevrons désignent la moyenne temporelle d'une fonction périodique sur une période.

Q12. Montrer que l'énergie mécanique totale du système de deux trous noirs dans le référentiel barycentrique s'écrit

avec .
Q13. Le système binaire perd de l'énergie sous forme d'ondes gravitationnelles. Montrer que

et discuter de l'évolution des orbites au cours du temps.
Q14. Exprimer les quatre éléments de la matrice puis montrer que

Q15. L'énergie mécanique totale du système binaire n'est pas conservée. Elle diminue et sa variation est égale à la puissance rayonnée par ondes gravitationnelles. À l'aide du théorème de l'énergie mécanique, établir l'équation différentielle donnant l'évolution de et la résoudre. On notera la condition initiale à un temps arbitraire . Commenter la solution. Qualitativement, à l'aide de la question Q10 expliquer comment évolue alors l'amplitude de au cours du temps.
Q16. Montrer que

avec la fréquence de l'onde gravitationnelle. Commenter brièvement cette expression et tracer l'allure de la fonction au cours du temps jusqu'au moment théorique de la collision. Quelles hypothèses sont à remettre en cause peu de temps avant la collision des deux astres?

Les ondes gravitationnelles représentent des déformations de l'espace-temps qui se propagent librement dans l'espace, suivant une équation de d'Alembert. En outre, elles possèdent deux polarisations ( et ) transversales à leur direction de propagation. En utilisant les notations de l'équation 7 , on a :

pour une onde se propageant selon l'axe depuis une source située à une distance est donc dorénavant une matrice ).

Nous allons maintenant nous intéresser à l'effet d'une onde gravitationnelle sur la matière. On considère tout d'abord une assemblée de particules initialement au repos, et on cherche à exprimer le déplacement relatif des particules dû au passage d'une onde gravitationnelle. Pour ce faire, on se place dans le référentiel galiléen local de l'une des particules, positionnée à l'origine d'un repère cartésien, et on étudie le déplacement relatif d'une autre particule, nommée particule test, initialement positionnée en . Posons , et les déplacements de la particule test selon les trois axes du plan cartésien. On notera le vecteur déplacement et on considérera ces déplacements petits devant les longueurs typiques en jeu dans ce problème. L'étude des équations de la Relativité Générale montre que l'onde gravitationnelle déforme l'espace-temps de sorte que la particule test est déplacée d'un vecteur donnée par l'équation différentielle matricielle

Q17. Montrer que

et justifier que les modifications de distance dues au passage d'une onde gravitationnelle sont imperceptibles dans la vie quotidienne à l'aide des applications numériques établies question Q11.

Q18. La figure 3 représente l'effet du passage d'une onde gravitationnelle de polarisation purement sur une assemblée de particules tests disposées en cercle ( ), tel que prédit par les équations 16 . Pour un ensemble de particules tests placées en cercle tel que sur la figure 3 en , représenter de la même manière l'effet d'une onde de polarisation purement et commenter.

La lumière se propageant à la vitesse dans tous les référentiels (principe de la relativité restreinte), le temps de parcours des photons entre deux points est modifié par le passage d'une onde gravitationnelle car celle-ci va allonger ou rétrécir la distance entre ces deux points. On considère maintenant deux miroirs sur l'axe séparés par une distance en l'absence d'onde gravitationnelle.

Q19. On aimerait supposer que l'on peut négliger le déplacement des miroirs dû au passage de l'onde gravitationnelle pendant que la lumière réalise un aller-retour entre ceux-ci. Donner une condition sur pour que cette affirmation soit vraie si on suppose que l'onde gravitationnelle a été générée par le système binaire de trous noirs étudié en première partie. Commenter la faisabilité d'un détecteur à miroirs fondé sur la mesure d'un temps d'aller-retour de la lumière installé sur Terre ou dans l'espace.
Q20. Exprimer le temps de parcours infinitésimal que prend la lumière pour parcourir une distance initialement lorsqu'elle est modifiée par le passage d'une onde gravitationnelle. On note l'indice du milieu. Puis, si on suppose que le temps d'aller-retour est petit devant l'inverse de la fréquence de l'onde, calculer le temps d'aller-retour total entre deux miroirs initialement séparés d'une distance et alignés selon l'axe .
Q21. Répéter le calcul pour une distance et deux miroirs alignés selon l'axe et séparés d'une distance . Montrer que la différence de temps d'aller-retour est

Imaginer un dispositif capable de détecter le passage d'une onde gravitationnelle.

Les barres résonantes sont historiquement les premiers détecteurs terrestres dédiés à la détection des ondes gravitationnelles. Le principe repose sur le fait que des ondes gravitationnelles de fréquence appropriée peuvent exciter les modes de vibration d'un solide. Le premier détecteur construit par Joe Weber au début des années 60 est simplement un cylindre de niobium instrumenté. Dans cette partie, nous allons étudié un détecteur plus récent nommé Explorer, installé au CERN à Genève. Il est constitué principalement d'un cylindre d'aluminium de longueur d'environ et de masse , couplé à un capteur (transducteur capacitif) permettant d'enregistrer les vibrations de la barre (voir figure 4). Le tout est installé dans une chambre à vide, elle-même immergée dans un cryostat refroidi à l'hélium liquide à 2 K . La barre résonante est isolée des vibrations du sol par des atténuateurs mécaniques.

Une barre résonante peut être modélisée comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques élémentaires de pulsations de résonance (on ne considère que les modes longitudinaux et d'ordre impair) où est la vitesse du son dans le matériau et un entier.

Q22. Donner l'expression pour la pulsation de résonance du mode fondamental et sa valeur numérique pour la barre de Explorer.

Supposons qu'une onde gravitationnelle d'amplitude produise un déplacement d'une des faces du cylindre, face à laquelle est fixé le transducteur. Alors, en l'absence de toute autre force (les autres forces sont considérées comme du bruit), obéit à l'équation différentielle

où représente le facteur de qualité du matériau. Pour la barre de Explorer, . On introduit les fonctions complexes et définies par :

où désigne la partie réelle d'un nombre complexe.

Q23. Déterminer la fonction de transfert gravitationnelle . A quel type de filtre cette fonction de transfert correspond-elle?
Q24. Calculer et déterminer sans démonstration son maximum
Q25. Le diagramme de Bode correspondant à la fonction de transfert est représenté figure 5. Interpréter au maximum ce diagramme à l'aide de la fonction de transfert (zones rectilignes, région , gain et phase).

Q26. La réponse impulsionnelle de la barre de Explorer à une onde gravitationnelle courte de durée approximée par une impulsion s'écrit

Pourquoi la réponse est-elle essentiellement une fonction oscillante de pulsation ? Donner un ordre de grandeur du déplacement maximum pour une onde gravitationnelle typique.

Les variations de longueur de la barre dues au passage d'une onde gravitationnelle sont extrêmement ténues. Pour les amplifier, on peut coupler la barre à un autre résonateur de masse dont les oscillations seront plus importantes et mesurables. Les deux oscillateurs couplés sont modélisés par des systèmes masse-ressort couplés tel que sur la figure 4.

Q27. Pour que le couplage soit parfait entre les deux oscillateurs, on veut qu'ils aient les mêmes fréquences de résonance. Établir une relation sur et pour satisfaire cette condition.

Q28. Exprimer et les énergies mécaniques respectives de l'oscillateur de masse et de l'oscillateur de masse considérés indépendamment. En supposant le transfert d'énergie parfait entre les deux oscillateurs ( ), montrer que l'amplitude des oscillations du second oscillateur est amplifiée de

On pourra supposer que les deux résonateurs oscillent en phase. Donner un ordre de grandeur de pour .

Un transducteur est un dispositif capable de transformer les oscillations mécaniques du détecteur en signal électrique. Dans cette partie nous allons étudier le fonctionnement d'un transducteur capacitif équipant le détecteur Explorer.
Le transducteur est constitué principalement d'un condensateur plan dont une des armatures constitue le second résonateur étudié dans la partie précédente, l'autre est solidaire du bâti. Les armatures du condensateur sont des disques de rayon espacés d'une distance selon l'axe . L'espacement varie avec les oscillations de la barre de Explorer.
Dans un premier temps, on suppose toutes les quantités statiques . Les armatures possèdent des charges telles que sur la figure 6 et leurs centres ont pour coordonnées . On négligera les effets de bord.

Q29. Calculer le champ électrique à l'intérieur et à l'extérieur du condensateur.
Q30. Calculer la différence de potentiel entre les disques du condensateur, avec le potentiel électrique. On supposera que .

Q31. Définir la capacité du condensateur en fonction des données du problème. Calculer sa valeur numérique.

Nous allons maintenant vérifier que les relations établies dans les trois questions précédentes restent valides en régime variable pour une gamme de fréquences que l'on précisera. L'espacement entre les armatures est dorénavant une fonction du temps . On cherche maintenant un champ électrique à l'intérieur du condensateur de la forme (ou en notation complexe ).

Q32. À l'aide des équations de Maxwell, montrer que est solution de

Q33. La solution à cette équation s'écrit sous la forme d'une série entière

avec et une constante. L'allure de cette fonction est représentée figure 6. Donner une condition sur et pour que l'étude du condensateur dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) soit valide. En déduire que le champ peut être considéré uniforme dans le condensateur et donner un ordre de grandeur de la fréquence maximale pour laquelle l'ARQS reste valable.
Q34. Dans l'hypothèse où est approximativement uniforme dans le condensateur, calculer le champ à l'intérieur du condensateur à l'aide du théorème de Stokes. On précisera d'abord la forme du champ recherché à l'aide des symétries du problème.
Q35. Dans le régime , on admet qu'à l'intérieur du condensateur dans l'ARQS. On estime que . Dans ces conditions, en déduire l'expression du potentiel électrique en fonction de et . Commenter.

Q36. Le transducteur fonctionne dans un régime où les armatures du condensateur sont maintenues à une charge constante par une alimentation extérieure. Montrer que et donner une expression pour la capacité du transducteur. Conclure.

Q37. Le condensateur possède une capacité statique d'environ , chargé sous une tension . Donner un ordre de grandeur du gain puis de la variation de tension attendue pour un déplacement des armatures.

Étant donnée la faiblesse des signaux mis en jeu, le transducteur capacitif est branché sur un circuit électrique amplificateur. Cependant l'ensemble de la chaine électronique est susceptible de rajouter du bruit au signal et de l'amplifier tout autant. Pour filtrer le bruit et détecter le signal gravitationnel, on peut mettre en œuvre une détection synchrone.

Q38. Commenter les effets bénéfiques et nocifs dus à la présence du condensateur dans le circuit électrique présenté figure 7

Q39. Rappeler le principe de la détection synchrone.
Q40. Pourquoi la détection synchrone est-elle bien adaptée aux barres résonantes et comment la mettre en œuvre?

La détection directe d'ondes gravitationnelles annoncée le 11 février 2016 a été réalisée à l'aide d'un détecteur dit interférométrique. Celui-ci est fondé sur la notion d'interférence lumineuse. La lumière étant une onde, elle peut interférer avec elle-même tout comme les ondes mécaniques ou acoustiques. Suivant le déphasage entre deux ondes lumineuses, les interférences peuvent être constructives (renforcement de l'intensité lumineuse) ou destructives (intensité lumineuse nulle).
Pour réaliser des interférences lumineuses de manière à détecter le passage d'une onde gravitationnelle, le dispositif expérimental doit satisfaire à de nombreuses contraintes technologiques. Le principe de détection par interférences sera abordé dans les questions Q41 à Q47 puis divers aspects pour améliorer la sensibilité du détecteur seront étudiés dans les parties suivantes, largement indépendantes, mais focalisées sur l'amélioration de la sensibilité du détecteur.

La géométrie du système de détection suit celle d'un interféromètre de Michelson. Les résultats du premier interféromètre de ce type, créé en 1881, ont ouvert la voie à la théorie de la Relativité Restreinte d'Einstein, et il est notable que le même dispositif, largement amélioré, a permis de confirmer une prédiction de la Relativité Générale.

Une unique source laser de longueur d'onde dans le vide est dirigée vers une lame séparatrice semi-réfléchissante inclinée à qui distribue la moitié de la puissance dans deux directions et . On appelle bras les parties du montage correspondantes de longueur respective et (voir figure 8). Chacun des bras est terminé par un miroir de très haute réflectivité qui renvoie la lumière vers la lame séparatrice. Un détecteur en sortie permet d'observer la combinaison des ondes lumineuses provenant des deux bras de l'interféromètre. La différence de parcours de la lumière dans chacun des deux bras est à l'origine des interférences lumineuses observées au niveau du détecteur. En effet les deux ondes débouchent du système avec des phases différentes dues à la différence de distance parcourue ce qui est de nature à provoquer des interférences.

Une version simple de l'interféromètre de Michelson est présentée figure 8 avec ses notations. On décrit la source laser par une onde électromagnétique plane progressive harmonique de la forme en notation complexe, avec l'indice du milieu traversé et . Le vecteur d'onde est dirigé selon en sortie du laser et dans le bras de longueur , et selon dans le bras de longueur et à l'arrivée sur le détecteur. Pour une onde électromagnétique, on définit les coefficients complexes de réflexion et de transmission par

Pour la séparatrice, on note (resp. ) le coefficient de réflexion (resp. transmission). Les coefficients de réflexion des miroirs et sont .

Q41. Écrire l'expression du champ électromagnétique reçu au niveau du détecteur pour la partie du faisceau ayant réalisé un aller-retour dans le bras de longueur depuis la source laser. Faire de même pour la seconde partie du faisceau (champ ). Comme sur le schéma, on notera et les distances respectives du laser et du détecteur au centre de la séparatrice et on suppose que au niveau du laser. Montrer que la différence de phase entre les champs et est

Q42. Schématisons ce qui se passe au niveau du détecteur de lumière. Sur un schéma, représenter deux ondes de longueur d'onde déphasées de avec , puis leur somme. Faire de même pour deux ondes déphasées de . Indiquer dans quels cas on a des interférences constructives ou destructives.
Q43. L'intensité optique mesurée sur le détecteur est où les chevrons représentent la moyenne temporelle sur un temps . Sachant que , montrer que

avec que l'on déterminera.

En l'absence d'onde gravitationnelle, on note respectivement et les longueurs des bras de l'interféromètre alignés selon les axes et . Suite au passage d'une onde gravitationnelle , les longueurs des bras sont modifiées respectivement de et de telle sorte que