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ENS Physique C PC 2024

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X-ENS
Année
2024
Filière
PC
Matière
Physique
X-ENS PCX-ENS 2024PC PhysiquePhysique 2024
2025_09_04_1c841b44be6719530238g

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

JEUDI 18 AVRIL 2024
08h00-14h00
FILIERE PC - Epreuve
PHYSIQUE C (U)
Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Début de l'épreuve

Ce sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Consignes et indications générales

  • On néglige la gravité dans tout le sujet.
  • Aucune question ne fait appel à la mécanique quantique.
  • La justification des réponses et des étapes de raisonnement est prise en compte dans la notation.
  • Pour les questions ouvertes appelant une justification ou une discussion, la longueur de la réponse attendue est entre quelques mots et quelques lignes (mais les réponses plus longues ne sont pas sanctionnées).
  • Il est parfois demandé de vérifier que l'on retrouve une expression déjà obtenue dans une question précédente, ce qui peut aider à détecter et corriger d'éventuelles erreurs.

Notations et conventions

  • est un repère orthonormé, fixe dans le référentiel du laboratoire considéré comme un référentiel galiléen. Les vecteurs unitaires associés sont notés ( ).
  • Élément de volume : .
  • Norme d'un vecteur : .
  • désigne la dérivée temporelle d'une fonction , et .
  • Pour une fonction qui ne dépend pas de la direction de , on pourra noter au lieu de .
  • «Positif» signifie «supérieur ou égal à zéro ».

Formulaire

En coordonnées sphériques :

Données numériques

Masse molaire du lithium
Nombre d'Avogadro:

Introduction

On appelle «système de particules en interaction » un système composé de particules interagissant entre elles. Il peut s'agir par exemple de molécules dans un gaz ou un liquide, d'électrons et d'ions dans un plasma, ou encore d'étoiles dans une galaxie.
D'ordinaire, ces systèmes ont les caractéristiques suivantes. Dès que , il est impossible d'obtenir des résultats exacts sur l'évolution en fonction du temps des positions des particules par des calculs analytiques, c'est-à-dire sans utiliser de simulations numériques. Cependant, lorsque est grand, le comportement du système devient plus simple à décrire. Au bout d'un certain temps, le système atteint un état d'équilibre, décrit par la thermodynamique ou la statique des fluides. Ceci est vrai même si le système n'échange pas de chaleur avec son environnement. Pour décrire cet état d'équilibre aux échelles macroscopiques ou mésoscopiques, il suffit de connaître quelques fonctions qui relient entre elles des grandeurs thermodynamiques telles que la pression, la température ou l'énergie interne. La détermination de ces fonctions nécessite de construire des tableaux de données à partir de mesures expérimentales ou de simulations numériques (à la différence d'un gaz parfait, pour lequel ces fonctions ont des expressions connues). De plus, l'évolution d'un fluide en fonction du temps peut être décrite par la mécanique des fluides, qui fait intervenir quelques grandeurs supplémentaires telles que la viscosité dynamique. Ces grandeurs (appelées coefficients de transport) sont des fonctions des grandeurs thermodynamiques, et la détermination de ces fonctions nécessite là encore de construire des tableaux de données à partir d'expériences ou de simulations numériques.
Certains systèmes particuliers de particules en interaction possèdent des propriétés qui font exception à une ou plusieurs des caractéristiques énoncées dans le paragraphe précédent : on qualifiera de telles propriétés de propriétés extraordinaires.
Nous serons amenés à rencontrer de telles propriétés extraordinaires dans les parties 3 et 4 . Alors que le système étudié en partie 3 n'a pas à ce jour de réalisation expérimentale, la partie 4 est reliée à des expériences actuelles avec des gaz froids. La partie 1 concerne la réalisation d'un piège optique pouvant servir dans ces expériences. Les parties suivantes sont indépendantes de la partie 1 , à l'exception de deux questions où un lien avec la partie 1 sera indiqué dans l'énoncé. La partie 2 concerne un problème à une particule dont l'étude est utile pour les parties 3 et 4 .

Partie 1 : Un atome dans un piège optique

Dans cette partie, on considère un atome de masse , de vecteur position . L'atome est soumis à une force conservative . On note l'énergie potentielle associée à cette force .
  1. Dans cette question on suppose que est de la forme
où et sont des constantes et . On pose .
a) Montrer que chacune des fonctions et vérifie une équation différentielle.
b) On note la vitesse de l'atome à . Exprimer en fonction de et .
Dans la suite de cette partie, on considère que la force est due à l'effet de faisceaux laser, et on admet que l'énergie potentielle est
où est une constante strictement positive, est le champ électrique, et désigne la moyenne temporelle (aussi appelée moyenne dans le temps) de à fixé.
On utilise simultanément trois faisceaux laser. On admet que les champs électriques associés à chacun des trois faisceaux sont :
où la fonction est définie par
et où et sont des paramètres constants, avec et strictement positifs (la longueur de Rayleigh n'apparaît pas car elle peut être considérée comme infinie).
2) Pour chacun des trois faisceaux, indiquer la direction et le sens de propagation ainsi que la polarisation de la lumière correspondants.
3) Exprimer en fonction de et .
4) Montrer que si , alors
où l'on exprimera en fonction de et .
5) On considère un atome de lithium 6 . On utilisera les données numériques figurant en bas de la page 1 , en particulier la valeur de .
a) On fait l'hypothèse que pour décrire le mouvement de l'atome, on peut remplacer par son expression approchée donnée par l'équation (2). Déterminer la valeur numérique de la période du mouvement avec un chiffre significatif.
b) En , l'atome se trouve à l'origine avec une vitesse . L'hypothèse faite à la question est-elle légitime?
6) Dans toute cette question, on considère une situation où les polarisations des faisceaux ne sont pas parfaitement contrôlées, tandis que les phases et sont toujours fixées. Citer un effet qui apparaît alors et qui modifie le résultat obtenu à la question 3. Proposer une modification des caractéristiques des faisceaux permettant d'éliminer cet effet et de retrouver le résultat de la question 3. On pourra répondre brièvement et sans calculs.

Partie 2 : Une particule soumise à une force

Dans cette partie, on considère une particule de masse se déplaçant à une dimension le long de la demi-droite ( ), de sorte que son vecteur position est avec .
La particule est soumise à une force avec , où et sont des constantes strictement positives.
7) Montrer que la force est conservative, et que l'énergie potentielle correspondante s'écrit
où est une constante arbitraire et où l'on exprimera et en fonction de et .
Dans la suite on prend .
8) On pose , et on note l'énergie mécanique de la particule. Exprimer en fonction de et .
9) On pose et . En résolvant l'équation différentielle trouvée à la question précédente, exprimer en fonction de et .
Dans la suite, la particule est lâchée à en avec une vitesse nulle.
10) Exprimer en fonction de et . Exprimer la période de en fonction de .
11) Commenter brièvement le fait que la période est indépendante de l'amplitude.
12) On note et les valeurs minimale et maximale de la fonction . À partir de l'expression de obtenue à la question 10, tracer l'allure de en fonction de , et exprimer et en fonction de et . On distinguera entre les cas et , où est une grandeur que l'on exprimera en fonction de .
13) Tracer l'allure de . Par une approche énergétique, vérifier la validité des expressions de et obtenues à la question précédente.

Partie 3 : particules interagissant par une force en

Dans cette partie, on considère particules ponctuelles de masse se déplaçant dans l'espace à trois dimensions. On note le vecteur position de la particule , où l'entier est compris entre 1 et . Les forces en jeu sont les suivantes :
  • Chaque particule est soumise à une force extérieure conservative. On note l'énergie potentielle associée, aussi appelée potentiel extérieur. La force extérieure subie par la particule est notée .
  • Les particules interagissent entre elles. Chacune des particules exerce une force sur chacune des autres particules. La force d'interaction exercée par la particule sur la particule , notée , est supposée telle que
  • sa direction est celle de la droite joignant les particules et ,
  • son sens correspond à une répulsion entre particules,
  • sa norme est inversement proportionnelle au cube de la distance entre les particules, soit , où est un paramètre constant positif, et est la distance entre les particules et .
    On note l'ensemble des entiers différents de compris entre 1 et , soit . Pour désigner la somme sur les entiers et compris entre 1 et tels que , on utilise la notation concise au lieu de .
On note l'énergie cinétique totale du système constitué des particules. On définit les grandeurs
On admettra que est une constante du mouvement ( est l'énergie mécanique totale du système des particules).

3.1 Potentiel extérieur quelconque

Dans cette sous-partie, on ne fait aucune hypothèse concernant la forme du potentiel extérieur .
14) Écrire l'expression reliant à la fonction .
15) Exprimer en fonction de et .
On pose
où .
16) Exprimer en fonction de et de .

3.2 Potentiel extérieur harmonique

Dans cette sous-partie, on considère le cas d'un potentiel extérieur de la forme avec une constante strictement positive. On pose .
17) Montrer que vérifie la même équation différentielle que celle obtenue pour à la question 8. En déduire l'expression de en fonction de , et des grandeurs et .
18) Dans cette question on considère le cas où . En utilisant le résultat de la question , exprimer en fonction de , de , des et des . Vérifier que cette expression de est équivalente à celle obtenue à la question 17.
19) Dans le cas où est non nul, donner des raisons pour lesquelles le résultat trouvé pour à la question 17 est une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet.

3.3 Boîte sphérique

Dans cette sous-partie, on considère la situation suivante :
  • Les particules sont enfermées dans une boîte sphérique de rayon centrée à l'origine. La paroi de la boîte est donc l'ensemble des points de vecteur position tel que (la paroi étant considérée comme infiniment fine, pour simplifier la discussion).
  • est la force exercée par la paroi de la boîte sur la particule .
  • Le potentiel extérieur correspondant vérifie les propriétés suivantes (on ne s'intéresse qu'à l'intérieur de la boîte, soit ):
    (a) ne dépend pas de la direction de
    (b) pour supérieur à une certaine longueur qui vérifie
    (c) est une fonction croissante et continue de
    (d) .
  1. Tracer l'allure de la fonction .
Dans la suite, on note la moyenne temporelle sur une durée infiniment longue d'une grandeur dépendante du temps , soit
Ainsi désigne la moyenne temporelle sur une durée infiniment longue de .
21) a) Montrer que où est une quantité indépendante de dont on donnera l'expression.
b) En déduire que .
Dans la suite, on considère une boîte de taille macroscopique contenant un grand nombre de particules. On admet que le système des particules peut être considéré comme un fluide à l'équilibre, et on note la pression du fluide au niveau de la paroi.
22) Justifier en quelques mots le fait que la valeur de est la même en tout point de la paroi.
23) Pourquoi peut-on considérer que ? On attend une réponse brève, sans calcul ni estimation d'ordre de grandeur.
24) On note le vecteur unitaire . Exprimer en fonction de et de .
25) On définit une surface et un volume comme suit (voir figure 1):
  • est une petite portion de la paroi. La forme de est approximativement un carré de côté , avec .
  • est l'ensemble des points dont le vecteur position est de la forme avec et compris entre 0 et 1 .
    a) On note la force exercée par la paroi sur le fluide contenu dans . Donner une expression approchée simple de faisant apparaître . Indiquer deux conditions sur (en plus de ) pour que cette expression soit valable.
Figure 1 - Vue en coupe dans un plan passant par l'origine , montrant l'intersection de ce plan avec la paroi de la boîte (cercle tireté), avec la surface (arc de cercle en trait continu épais), et avec le volume (zone hachurée).
b) On note l'ensemble des entiers appartenant à tels que la particule est située dans la région . En utilisant le résultat obtenu à la question 25a, obtenir une expression approchée simple de faisant apparaître .
c) En déduire une expression approchée simple de faisant apparaître .
26) On identifie la moyenne temporelle avec l'énergie interne du fluide. Montrer que
où est le volume de la boîte. On utilisera notamment les résultats des questions et .
27) Dans le cas où , montrer directement que en utilisant des relations thermodynamiques connues et sans utiliser les résultats des questions précédentes.

Partie 4 : Propriétés macroscopiques d'un gaz unitaire

Dans cette partie, on s'intéresse aux propriétés macroscopiques d'un fluide particulier, appelé « gaz unitaire . Il s'agit d'un gaz monoatomique, dans lequel les interactions entre atomes sont généralement loin d'être négligeables (même si elles décroissent rapidement avec la distance entre atomes) ; par exemple, l'équation d'état d'un gaz unitaire est très différente de celle d'un gaz parfait. La description microscopique d'un gaz unitaire fait appel à la mécanique quantique à corps, et sort du cadre de ce sujet. Nous admettrons donc certaines propriétés d'un gaz unitaire, et nous en étudierons les conséquences en utilisant la thermodynamique, la statique des fluides, et la mécanique des fluides (respectivement dans les sous-parties 4.1, 4.2 et 4.3).

4.1 Thermodynamique du gaz homogène

Dans cette sous-partie, on s'intéresse à un gaz unitaire homogène de volume . On admet que les principes de la thermodynamique sont applicables. On note le nombre d'atomes composant le gaz, la pression du gaz, son énergie interne, son entropie, sa température, sa densité particulaire, et son entropie par atome.
Dans toute la suite du sujet, on admet qu'un gaz unitaire homogène à l'équilibre vérifie les propriétés suivantes :
  • l'énergie interne et la pression sont liées par la relation
  • la pression est une fonction de et :
où la fonction ne dépend d'aucune autre grandeur thermodynamique que et .
28) On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire est enfermé dans une boîte de volume dont l'une des parois est un piston mobile. Les parois sont parfaitement isolantes thermiquement (autrement dit, la boîte est un calorimètre idéal). Le gaz est initialement à l'équilibre. On fait varier lentement le volume de la boîte en déplaçant la paroi mobile.
a) Montrer que est constant au cours de la transformation.
b) En déduire que est de la forme
où la fonction ne dépend que de et pas de .
c) Indiquer brièvement en quoi l'équation (6) peut faciliter la détermination de la fonction par des mesures expérimentales ou des simulations numériques.
29) a) Justifier brièvement et sans calculs que la propriété (5) est habituelle.
b) Proposer une brève justification physique intuitive du fait que la propriété (6) est inhabituelle.
c) En déduire que la propriété (4) est inhabituelle. On attend un raisonnement bref.
30) On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire, initialement à l'équilibre, est enfermé dans une boîte de volume fixé. On apporte lentement une petite quantité de chaleur au gaz.
a) En utilisant le premier et le deuxième principe de la thermodynamique, établir une relation entre la variation d'énergie interne du gaz et sa variation d'entropie.
b) En déduire que pour un gaz unitaire homogène à l'équilibre, on a
où est une fonction de (indépendante de ) que l'on exprimera en termes de .
Dans la suite, on admet que la fonction est strictement croissante et continue. La fonction est donc inversible. On a donc, pour un gaz unitaire homogène à l'équilibre :
où est la fonction réciproque de .

4.2 Statique des fluides

Dans cette sous-partie, on considère un gaz unitaire, à l'équilibre, soumis à une force extérieure indépendante du temps. On admet que le gaz peut être décrit par la statique des fluides.
Chaque atome subit une force extérieure , où est le vecteur position de l'atome et est un paramètre constant strictement positif (on rappelle que la gravité est négligée).
On note
éàééééé
au voisinage du point de vecteur position .
31) a) Donner une expression de faisant apparaître et .
b) En utilisant l'équation locale de la statique des fluides, en déduire une relation entre les fonctions et .
32) Justifier en quelques mots le fait que et ne dépendent pas de la direction de .
33) Justifier en quelques mots le fait que la température est uniforme dans tout le fluide.
34) Expliquer brièvement pourquoi, sous une hypothèse que l'on indiquera, on peut écrire
On admet dans la suite que .
35) Dans cette question, on considère le cas où , et on admet que dans ce cas, il existe une distance telle que : pour , et pour .
a) Exprimer en fonction de et pour ; et exprimer en fonction de , et .
b) Tracer l'allure de .
c) On admet que où est la masse d'un atome, est la constante de Planck réduite, et est une constante qui vaut d'après des expériences et des simulations numériques concordantes. Déterminer la valeur numérique de avec un chiffre significatif, pour des atomes de lithium 6 avec . On utilisera et les données numériques figurant en bas de la page 1 .
d) Dans le cas où la force extérieure est due aux faisceaux laser considérés dans la partie 1, cette force est-elle bien approximée par pour tous les atomes du gaz?
36) En réalité, n'est jamais strictement nulle. Dans cette question, on considère que la température est non nulle mais proche de 0 .
a) On admet que la fonction est continue. Justifier en quelques lignes pourquoi est proche du résultat trouvé à la question 35a lorsque est à la fois inférieur à et pas trop proche de .
b) On admet que la fonction est strictement positive et décroissante sur l'ensemble des positifs, et que . Tracer l'allure de .

4.3 Mécanique des fluides

Dans cette sous-partie, on considère un gaz unitaire soumis à une force extérieure dépendante du temps. On note la force extérieure par unité de volume subie par le gaz au voisinage du point de vecteur position au temps . On admet que le gaz peut être décrit par la mécanique des fluides. On note la densité particulaire au voisinage du point de vecteur position à l'instant , et le champ eulérien de vitesse du fluide.
L'équation locale de conservation du nombre d'atomes s'écrit :
On introduit les notations :
  • ( ) pour les composantes ( ) du vecteur en coordonnées cartésiennes,
  • ( ) pour les composantes ( ) du vecteur en coordonnées cartésiennes,
  • pour les composantes du vecteur en coordonnées cartésiennes.
On admet que dans le cas général d'un fluide compressible, l'équation de Navier-Stokes générale en coordonnées cartésiennes s'écrit : pour tout appartenant à ,
où le fluide est supposé monoatomique, est la masse d'un atome, est la pression, est le symbole de Kronecker défini par
est la viscosité dynamique, et est une grandeur appelée «viscosité de dilatation».
On note l'entropie par atome au voisinage du point de vecteur position à l'instant . On admet que vérifie l'équation d'évolution
où est la température et est la conductivité thermique du fluide.
En général, les grandeurs et dépendent toutes de et .
On admet que les grandeurs et (appelées coefficients de transport du fluide) sont positives, et sont des fonctions de et :
On considère la situation suivante. Chaque atome subit une force extérieure , où est le vecteur position de l'atome et
Pour , le fluide est à l'équilibre, à une température non nulle (on ne fait aucune autre hypothèse concernant l'état du fluide à .
On admettra que les fonctions et sont continues malgré la discontinuité de , et que et sont strictement positives pour tout et .
37) Donner une expression de faisant apparaître et .
38) Justifier en quelques mots le fait que
  • les fonctions et ne dépendent pas de la direction de
  • le champ de vitesse est de la forme .
  1. Vérifier que pour , l'équation de Navier-Stokes générale (12) se réduit à une équation beaucoup plus simple dont on indiquera le nom.
  2. Expliquer brièvement pourquoi, sous des hypothèses que l'on indiquera, on peut écrire
On note
  • la boule de rayon centrée à l'origine
  • le nombre d'atomes situés dans à l'instant .
Dans la suite on admet la propriété suivante :
il existe une fonction définie pour telle que
éé
  1. S'agit-il d'une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet? Justifier brièvement.
  2. Exprimer en terme du profil de densité particulaire .
  3. On pose . Montrer que pour tout et tout , on a
  1. a) Obtenir une expression de faisant apparaître .
    b) En déduire que pour tout et tout , on a
  1. On pose . Calculer .
  2. On note l'entropie totale du fluide. En supposant que les fonctions et tendent rapidement vers zéro pour , montrer que
Dans la suite on admet que pour tout et pour positif, est une fonction périodique de , de même période que .
47) En déduire que est constante.
48) a) Que peut-on en déduire concernant la viscosité de dilatation d'un gaz unitaire?
b) Indiquer brièvement en quoi ce résultat est une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet.
c) Proposer une explication intuitive du lien entre ce résultat et la périodicité de l'évolution du gaz.
49) a) En admettant que , montrer que est indépendant de .
b) On note , et . Montrer que pour tout ,
et commencer par établir une expression de faisant apparaître .
50) a) On pose . Relier à .
b) On pose . Relier à .
On pose et .
51) a) Montrer que pour , l'équation (12) est bien satisfaite à condition que vérifie une équation différentielle dont on exprimera les coefficients en termes de et .
b) En se ramenant au problème étudié dans la partie 2, en déduire l'expression de en fonction de et .
52) On pose
où est le nombre total d'atomes et est le vecteur position de l'atome à l'instant .
a) On pose . Exprimer en fonction de et .
b) Vérifier que la forme du résultat obtenu est la même qu'à la question 17, sans chercher à comparer les différents coefficients constants. Pouvait-on s'y attendre?
c) Tracer l'allure de , en traitant séparément les cas limites et . Expliquer brièvement en quoi les résultats obtenus dans ces cas limites sont conformes à l'intuition physique.

Fin du sujet

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