(Durée : 6 heures)

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Le sujet comprend 19 pages numérotées de 1 à 19
Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.

Au début du siècle, les prises d'images de mouvements mécaniques étaient réalisées à l'aide de dispositifs photographiques, dont les temps d'expositions étaient contrôlés par des obturateurs mécaniques. Ces derniers permettaient de "figer" un mouvement avec des durées d'exposition minimales de typiquement 1 ms . Tout mouvement s'effectuant sur des échelles de temps inférieures donne alors une image floue.

Afin de réaliser des prises de vue de mouvements rapides, un changement de paradigme a été proposé durant les années 1940 par Harold Eugene Edgerton, professeur de génie électrique au MIT. Plutôt que de développer des capteurs plus rapides avec un objet éclairé continûment, il proposa la technique de photographie stroboscopique. Le principe consiste alors à utiliser un capteur lent, mais d'éclairer l'objet avec un flash lumineux. Ainsi, malgré la lenteur du détecteur, la durée d'exposition est limitée désormais par la durée du flash lumineux, soit typiquement . Cette technique a permis de produire les premières images de phénomènes mécaniques rapides, comme par exemple l'impact d'une balle dans une pomme, réalisée avec un flash de (MIT Museum Collections, Bullet through apple (1964)).
Le dévelopement récent des technologies laser a permis de produire des impulsions lumineuses dites "ultracourtes" offrant alors la possibilité, de façon similaire à H. E. Edgerton, d'étudier la dynamique moléculaire ultrarapide à l'échelle microscopique. Le prix Nobel de Chimie a été attribué en 1999 au professeur Ahmed H. Zewail (California Institute of Technology) pour avoir montré qu'il est possible ainsi d'observer le mouvement des atomes d'une molécule au cours des réactions chimiques à l'aide de telles sources lumineuses.
L'objet de ce problème est d'étudier différents systèmes physiques permettant de produire des impulsions ultracourtes, et les contraintes liées à leur manipulation.

Ce sujet est constitué de trois parties indépendantes. Chacune est divisée en sous-parties elles-mêmes largement indépendantes les unes des autres.

Vitesse de la lumière dans le vide

Constante de Planck

Constante d'Avogadro

Charge de l'électron

Masse de l'électron

Permittivité du vide

On adopte la notation complexe pour toute grandeur réelle dépendant du temps selon

Formule du double produit vectoriel pour

Pour un champ de vecteur quelconque,

Intégrales diverses
Pour tel que et ,

La fonction erreur, notée erf( ), est définie selon

et on a la propriété suivante

Représentation graphique de la fonction erreur.

On considère l'équation différentielle (1) sur la fonction réelle définie sur , de variable réelle selon

où et sont deux fonctions réelles. Soit une primitive de et . Il existe une solution unique de l'équation (1) telle que ; elle est définie selon

Dans cette section, on considère le mouvement relatif de deux atomes d'une molécule diatomique. On adopte une description phénoménologique du potentiel d'interaction entre ces deux atomes. Soit le vecteur position relative des deux atomes, de masse réduite notée . Une modélisation courante de la liaison covalente est constituée par le potentiel dit de Morse selon la loi suivante

où et sont deux constantes réelles positives, et .
Q1. Déterminer la position d'équilibre de la liaison.
On considère les petits mouvements autour de la position d'équilibre ( ).
Q2. Développer le potentiel à l'ordre 2 en , et montrer que la force résultante est équivalente à un ressort de raideur , dont on donnera l'expression. En déduire la fréquence angulaire d'oscillation correspondante.

Q3. Tracer le potentiel de Morse et le potentiel harmonique approché en unité de . Donner une interprétation physique de .

En mécanique quantique, le confinement d'une particule résulte en une quantification des niveaux énergétiques accessibles. La liaison chimique correspondant au confinement de la particule fictive du problème à deux corps associé, l'énergie de vibration de la liaison est donc quantifiée. Dans le cas du potentiel de Morse, les valeurs propres de l'énergie sont associées à un nombre quantique noté selon

où est la fréquence angulaire calculée dans la question précédente. Dans le cas d'un oscillateur harmonique, la quantification des énergies de vibration à la pulsation s'exprime uniquement par le premier terme

Le second terme est alors un facteur correctif tenant compte des anharmonicités du potentiel.
On note , l'écart énergétique entre deux niveaux énergétiques vibrationnels successifs, et l'énergie associée à la transition d'un niveau vers un niveau .
Q4. Expliciter pour le potentiel de Morse et en déduire dans le cas d'un potentiel harmonique, et dans le cas d'un potentiel de Morse. Commenter le comportement de l'écart énergétique avec dans les deux cas.

Les techniques de spectroscopie moderne permettent d'accéder aux fréquences des transitions entre les différents niveaux énergétiques.

Q5. Exprimer, sans approximation, et en fonction de et .
En spectroscopie, on exprime usuellement les valeurs des transitions en nombre d'onde , où est la longueur d'onde associée. On note le nombre d'onde associé à la transition d'un niveau vers un niveau . Pour la molécule HCl , on mesure , et .

Q6. Rappeler la relation entre la longueur d'onde et l'énergie d'une transition donnée. Calculer les valeurs et associées à respectivement et .

Q7. Calculer et dans le cas de la molécule de HCl . En déduire les ordres de grandeurs typiques d'énergie et de temps mis en jeu dans les mouvements de vibrations atomiques au sein d'une molécule.

Une protéine est une macromolécule composée d'un assemblage d'acides aminés en chaîne, liés les uns aux autres par une liaison covalente dite peptidique. Lorsque la chaîne peptidique est suffisamment longue, les interactions internes à la molécule par liaisons hydrogènes donnent une conformation tridimensionnelle à la chaîne que l'on appelle structure ternaire. Les structures locales les plus courantes sont des structures en forme d'hélice (appelées hélices- ) et des structures en feuillets (appelées feuillets- ). Ces structures en hélices et en feuillets interagissent entre elles, toujours par liaisons hydrogènes, pour donner la structure tridimensionnelle finale à la protéine, appelée structure quaternaire.
La structure quaternaire d'une protéine joue un rôle fondamental dans sa fonctionnalité biologique, et donc les interactions entre feuillets et hélices sont de première importance. Dans cette section, nous nous proposons d'étudier dans le cadre d'un modèle simple la dynamique de vibration d'une protéine afin d'en exhiber les échelles de temps et les énergies caractéristiques.
On considère une classe de protéines formées uniquement de feuillets , en conformation "baril" : elle est formée de feuillets répartis sur un cercle de rayon constant (voir Fig. 4.a)). Entre deux feuillets (supposés identiques, de masse ), on note le nombre de liaisons hydrogènes ( ). On modélise chaque liaison

hydrogène par un ressort de raideur (voir Fig. 3). On néglige la dynamique selon , et on assimile ainsi chaque feuillet à un point matériel ponctuel de masse , se déplaçant dans le plan . Chaque feuillet est lié élastiquement à ses deux plus proches voisins par un ressort de raideur (voir Fig. 4.b)). Les feuillets sont équirépartis sur un cercle de centre . On associe l'indice à toutes les grandeurs physiques du feuillet, ainsi qu'une base orthonormée locale ( ). Par convention, le feuillet est celui situé sur l'axe des , avec une abscisse positive. On note , que l'on suppose suffisamment faible pour approximer . On note le déplacement instantané du feuillet par rapport à sa position d'équilibre.
Q8. Montrer que l'interaction de liaisons hydrogènes est équivalente à un ressort unique de raideur .
Q9. Établir l'équation vectorielle du mouvement du déplacement en fonction de et des .
On cherche des solutions orthoradiales, de la forme .
Q10. En déduire l'équation régissant .
On cherche les modes propres solutions du système, c'est-à-dire les solutions oscillantes de la forme

Q11. Déterminer le système linéaire de équations vérifié par les . À quelle condition ce système possède-t-il une solution non triviale? Combien, au maximum, de pulsations peuvent satisfaire ces conditions?

On propose de tester une famille de solutions (appelées modes) de la forme

Q12. Établir une relation entre et , la pulsation du mode considéré.
Q13. En exploitant la symétrie de révolution du système selon l'axe , expliciter et confirmer le nombre de modes obtenus en Q11.

Q14. En déduire l'expression de , ainsi que et , les fréquences angulaires minimale et maximale associées à la dynamique du système. On exprimera ces grandeurs en fonction des paramètres .

L'immunoglobuline G est le principal type d'anticorps trouvé dans le sang et dans le liquide interstitiel. Il permet de contrôler les infections des tissus du corps. Il se lie à divers types de pathogènes afin de protéger le corps

contre ces derniers, par différents mécanismes immunitaires. L'immunoglobuline G est une protéine sécrétée par les plasmocytes, issus des lymphocytes B plasmatiques. La concanavaline A est une glycoprotéine de la famille des lectines. Elle est aussi appelée hémaglutinine, en raison de sa capacité à précipiter les érythrocytes. La concanavaline A interagit avec divers récepteurs contenant des carbohydrates à mannose. Elle est produite par le haricot sabre (Canavalia ensiformis) où elle s'accumule dans le fruit.
Ces deux protéines ne possédent pas de structure en hélice , mais contiennent de nombreux feuillets dont la conformation est de type baril. Cependant, les différents feuillets ne sont pas strictement identiques. Une approximation pour tenir compte de cette irrégularité de structure consiste à effectuer la substitution suivante

où est le nombre total de liaisons hydrogène et la masse totale de la structure en feuillet considérée. On donne les valeurs numériques correspondant à ces deux protéines dans la table 5 . On donne également la constante de raideur élastique d'une liaison hydrogène dans un feuillet .

Q15. Application numérique : calculer la fréquence du mode de vibration le plus lent, et en déduire l'échelle de temps caractéristique du mouvement conformationnel de la structure quaternaire d'une protéine. Les techniques de spectroscopie montrent une raie d'absorption large à pour l'immunoglobuline G et à pour la concanavaline A. Commenter.

Dans cette section, on s'intéresse à l'interaction entre une impulsion femtoseconde et une surface métallique ou semiconductrice. On modélise le métal comme une maille cristalline fixe, constituée d'ions positifs immobiles, et d'un gaz d'électrons libres.

Q16. Connaissez-vous des applications des lasers à impulsions? On répondra succinctement.

On adopte le modèle de Drude de la description d'un métal : un électron de vitesse est soumis à une force de frottement visqueuse traduisant l'interaction avec la maille cristalline. On considère que cet électron est soumis à un champ électrique extérieur de pulsation , d'amplitude complexe . On note la densité d'électrons libres du métal considéré.
Q17. Montrer que le vecteur densité de courant vérifie une loi d'Ohm généralisée , où est une conductivité complexe que l'on explicitera.
Q18. Justifier que la densité de charge complexe est nulle.
Q19. Montrer que l'équation de propagation dans le métal s'exprime sous la forme

où l'on explicitera en fonction de et la fréquence plasma du métal définie selon

Q20. Évaluer et pour le cuivre. Le cuivre permet-il de faire des bons miroirs d'ondes térahertz? d'ondes optiques dans le domaine visible? d'ondes ultraviolettes lointaines (que l'on rencontrera dans les impulsions ultracourtes dites "attosecondes") ? Discuter brièvement du cas des autres métaux comme l'or ou l'aluminium. On argumentera en tenant compte des résultats de la question précédente, ainsi que des propriétés optiques des métaux données en début de sujet.

Un matériau semi-conducteur est un matériau dans lequel chaque électron est lié à un ion de la maille cristalline. Du fait de l'agitation thermique, une faible proportion d'atomes est excitée avec une énergie suffisante pour être ionisés. L'électron issu de cette ionisation peut se déplacer librement dans la maille cristalline, comme dans un métal : on parle de porteur de charge libre. L'interaction avec les autres électrons et la maille cristalline se modélise par une modification de la masse de ces électrons, que l'on note désormais , appelée masse effective. Les ions positifs correspondant à ces électrons devenus libres portent une charge positive. Cette dernière peut se propager de proche en proche par transfert d'électrons liés. On modélise cette "lacune" électronique comme une particule appelée "trou", de charge et de masse effective .
La dynamique des électrons et des trous est décrite par un modèle de Drude. Sous l'action d'un champ électrique, chaque électron (resp. trou) est soumis à une force de frottement fluide de la forme (resp. ), où (resp. ) est la vitesse d'un électron (resp. d'un trou).
On se place dans un régime avec une constante de temps caractéristique du champ électrique notée .
Q21. Dans la limite où , montrer que le vecteur densité de courant peut se mettre sous la forme

où (resp. ) est la densité volumique d'électrons (resp. de trous), et (resp. ) est appelé mobilité des électrons (resp. des trous). Dans le cas de l'arséniure de gallium GaAs, à partir des données proposées en début de sujet, justifier que l'on puisse négliger la contribution des trous dans une première approche.

Dans la suite, nous considérerons donc uniquement la contribution des électrons. On considère l'interaction entre une impulsion ultracourte femtoseconde, de longueur d'onde centrale , de durée et un cristal de GaAs. La géométrie considérée est schématisée Fig. 5. L'impulsion se propage selon l'axe , en incidence normale sur un demi-espace ( ) constitué de GaAs. L'origine des temps est telle que l'intensité surfacique incidente sur le semi-conducteur est

où est la fluence de l'impulsion.
Le semi-conducteur est muni d'une paire d'électrodes, auxquelles il est possible d'appliquer une différence de potentiel . Ces électrodes permettent de polariser le milieu semi-conducteur par un champ électrique statique . Dans le cas d'un semi-conducteur, une onde lumineuse peut ioniser le matériau et augmenter ainsi le nombre d'électrons et de trous dans le matériau. Ces derniers étant générés simultanément, on parle de paire électron-trou. Dans une description corpusculaire, un photon de fréquence pourra être absorbé et créer une paire électron-trou si son énergie est supérieure à une énergie de bande interdite , c'est-à-dire l'énergie d'ionisation d'un atome de la maille.
On note le coefficient de réflexion optique en intensité à l'interface Air-GaAs, et le coefficient d'absorption linéique optique à défini selon

Soit une tranche de GaAs de section , d'épaisseur , soumis à une onde optique de fréquence (telle que ) et d'intensité surfacique ; alors le nombre de paires électron-trou photogénérées pendant est

Après avoir été formés, les électrons et les trous peuvent se recombiner dans le matériau, à un taux de recombinaison constant défini selon

où est le temps de recombinaison des porteurs.
Q22. À partir d'un bilan local, établir l'équation d'évolution de la densité volumique d'électrons .
Q23. En utilisant la méthode de la variation de la constante donnée en début de sujet (voir équation (2) dans le formulaire), montrer que la densité électronique au cours du temps d'exprime ainsi

Q24. Dans la suite, on se place dans la limite où . Simplifier et tracer son allure en fonction de .
Ces charges sont accélérées par un champ uniforme et statique , généré par les électrodes mentionnées précédemment (voir Fig. 5). On admet qu'un champ est rayonné par ce mouvement de charge, polarisé selon dans cette géométrie, et que l'amplitude de ce champ rayonné est proportionnel à la dérivée temporelle du courant électronique

dans les régions de l'espace situées à une distance de l'interface excitée, où est la longueur d'onde caractéristique du rayonnement dans le vide.

Q25. Tracer l'allure du profil temporel du champ électrique rayonné (en valeur algébrique), et estimer l'échelle de temps caractéristique du rayonnement émis. Conclure quant à la production d'impulsions térahertz.
Q26. Donner un ordre de grandeur de la longueur d'onde associée au rayonnement émis et comparer sa valeur à la profondeur de pénétration optique de l'impulsion femtoseconde excitatrice dans GaAs.

On s'intéresse désormais à l'écrantage du champ électrique de polarisation par le champ généré et son influence sur l'amplitude du champ rayonné. On note et les champs électrique et magnétique rayonnés au niveau de l'interface à l'intérieur du semiconducteur, se propageant vers les , et et les champs électrique et magnétique rayonnés au niveau de l'interface à l'extérieur du semiconducteur, se propageant vers les .
On rappelle qu'à l'interface Air-GaAs le champ électrique est continu, soit

Compte tenu des résultats précédents, on modélise le courant photogénéré par une distribution surfacique , contenu dans le plan de l'interface Air-GaAs . On admet les relations de passage pour le champ magnétique

On considère un paquet d'onde se propageant dans une direction quelconque dans un milieu d'indice supposé constant sur l'ensemble du spectre de l'onde. On note le vecteur d'onde complexe à la pulsation . Il est possible de décomposer sur la base des ondes planes selon

où est la densité spectrale du champ électrique à la pulsation , et est le vecteur d'onde de la composante spectrale à la pulsation . De la même façon, le champ magnétique peut se décomposer selon