Durée : 5 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Il est demandé aux candidats de rappeler les chiffres et lettres qui permettent d'identifier une question avant la solution qu'ils en proposent.

Le problème traite de l'interaction d'une onde électromagnétique plane avec différents milieux matériels, en se limitant au cas de l'incidence normale. Dans une première partie, nous adopterons les méthodes de l'électromagnétisme macroscopique, les différents milieux étant caractérisés par leur indice de réfraction . Dans la seconde partie du problème, nous tenterons d'interpréter l'existence de l'onde réfléchie et de l'onde transmise à partir du champ rayonné par les particules qui composent le milieu matériel.

Les deux parties du problème sont largement indépendantes.

On s'intéresse dans cette partie à la description macroscopique de la réflexion et de la transmission d'une onde plane monochromatique par un ensemble de couches diélectriques non absorbantes.

Une lame diélectrique d'indice de réfraction est limitée par les plans et (figure 1). Nous la considérons comme infinie dans les deux autres directions. Nous étudions la propagation d'ondes électromagnétiques planes monochromatiques de pulsation qui se propagent parallèlement à . Dans le cas général, le champ électromagnétique dans la lame diélectrique peut être décrit comme la superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques. En nous limitant au cas d'une onde polarisée rectilignement dans la direction , nous avons donc en notation complexe :

avec :

I.A. 1 Exprimer en fonction de et de constantes fondamentales.
I.A. 2 Soit le champ magnétique associé à .

Expliciter en utilisant et .
I.A.3. En déduire les quatre coefficients (a priori complexes) de la matrice de transfert [T] (matrice ) définie par :

et (respectivement et ) désignant les valeurs complexes à l'instant du champ électrique (respectivement magnétique) total.
On vérifiera que et on exprimera les autres coefficients de la matrice de transfert au moyen des paramètres et .
I.A. 4 Donner un argument physique permettant de déterminer la matrice inverse sans calcul et écrire cette matrice.

La lame diélectrique est seule dans le vide. Une onde plane progressive incidente produit une onde réfléchie , deux ondes progressives dans la lame et une onde transmise (figure 2). Plus précisément, ces différents champs s'écrivent en notation complexe :

I.B. 1 En fonction des paramètres et , déterminer les rapports :

I.B. 2 À partir des mêmes équations et en poursuivant le calcul, on obtient (il n'est pas demandé de faire ce calcul) :

(a) Interpréter ce dernier résultat dans le cas particulier où .
(b) Ces résultats sont-ils conformes à la loi de conservation de l'énergie ? Argumenter la réponse.
(c) Définir, pour , le déphasage apporté par la lame et le déterminer.
(d) En donner une expression approchée dans le cas où est voisin de 1 .

Retrouve-t-on un résultat classique couramment utilisé en optique?
(e) Donner une expression approchée du déphasage dans le cas d'une lame très mince pour laquelle (avec cependant quelconque).
I.B. 3 Les intensités (au sens optique du terme) des ondes incidente et réfléchie sont notées et .
Pour , tracer l'allure du coefficient de réflexion en intensité en fonction de la pulsation . On effectuera les approximations autorisées par la valeur numérique de .
I.B. 4 Quel est l'ordre de grandeur de l'épaisseur d'une lame d'indice de réfraction qui a un reflet de couleur verte lorsqu'elle est éclairée en incidence normale par un faisceau de lumière blanche ? Si plusieurs épaisseurs sont possibles, on choisira celle pour laquelle la couleur est la plus "franche".
I.B. 5 Une couche diélectrique d'épaisseur et d'indice de réfraction est déposée sur un substrat supposé infiniment épais et d'indice de réfraction . L'autre face de la couche diélectrique est en contact avec l'air d'indice de réfraction égal à 1 . Le système est éclairé en incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d'onde dans l'air .
(a) En vous inspirant des méthodes développées dans les questions précédentes, déterminer à quelles conditions, portant sur les paramètres et , la couche diélectrique se comporte comme une couche anti-reflet.
(b) Application numérique. On suppose . On veut supprimer la réflexion pour et n'avoir qu'une seule annulation de la réflexion dans le spectre visible. Déterminer l'épaisseur de la couche.

I.C. 1 Considérons deux lames diélectriques accolées l'une à l'autre. La première lame a un indice de réfraction grand et une épaisseur . La seconde lame a un indice de réfraction petit et une épaisseur . On pose :

Calculer la matrice de transfert associée à l'ensemble des deux lames, notée [ ]. Dans cette notation, H et L qualifient respectivement les indices "high" (grand) et "low" (petit).

Les deux valeurs propres et de cette matrice [ ] sont solutions de l'équation en :

avec

On ne demande pas d'établir ce résultat qui découle d'un calcul sans difficulté particulière. À partir de l'équation (7), on remarquera que le produit des deux solutions est égal à 1 .

Les techniques de dépôt sous vide permettent de réaliser un empilement de doublets "HL", accolés les uns aux autres (figure 3 ). Nous cherchons à calculer les coefficients de réflexion et de transmission, définis par :

à travers une telle structure diélectrique, en se limitant au cas de l'incidence normale.

I.C. 2 On suppose tout d'abord que est infini, les empilements occupant tout le demi-espace . Montrer qu'il existe des plages de valeurs de la pulsation pour lesquelles l'onde ne peut pas être transmise par cet empilement. C'est le phénomène de bande interdite photonique ou photonic bandgap. On ignorera dans le raisonnement le cas limite d'une valeur propre double.
Déterminer les frontières des bandes interdites dans le cas où :

Pour une pulsation incluse dans ces plages, indiquer sans calcul quel est le facteur de réflexion de la structure.
I.C. 3 Nous considérons maintenant que est fini. Pour certaines valeurs de , le facteur de transmission est égal à 1 .
(a) Pour ces valeurs, déterminer sans calcul le facteur de réflexion , puis les valeurs du rapport pour et .
(b) En déduire une relation vérifiée par les valeurs propres et .
(c) Écrire l'équation vérifiée par les valeurs de pour lesquelles , dans le cas où

Nous étudions tout d'abord le cas où le plan électriquement neutre (la densité superficielle de charge est nulle en tout point) est parcouru par des courants de densité surfacique

où est supposé avoir la même valeur en tout point du plan infiniment étendu dans les directions et . Nous cherchons à déterminer le champ électromagnétique rayonné dans le vide par cette nappe de courant.
Au début de cette partie, nous ne supposons pas que est une fonction sinusoïdale du temps. La représentation complexe ne sera donc pas utilisée.
II.A. 1 Le champ électromagnétique est de la forme et .
(a) Justifier très brièvement cette affirmation.
(b) Quelle est la nature de chacune des deux ondes qui se propagent à partir du plan , vers les positifs et vers les négatifs ?
(c) Pour chacune de ces deux ondes, quelle est la relation entre le champ électrique et magnétique ? Pour répondre à cette question, on pourra utiliser un résultat classique du cours d'électromagnétisme, sans le démontrer à nouveau.
II.A. 2 Pour l'onde émise vers les positifs, exprimer en fonction de , où est la cote d'un point situé géométriquement dans le plan et correspondant physiquement à un point dans le vide du côté .
De même, pour , exprimer en fonction de . De manière similaire, est une notation qui désigne la cote d'un point situé géométriquement dans le plan et physiquement dans le vide du côté .
II.A. 3 En analysant les symétries de la source du champ , déterminer sans calcul:

Un métal parfaitement conducteur occupe le demi-espace . Dans le vide, du côté , se propage une onde électromagnétique plane (onde incidente) de la forme :

Cette onde induit sur le plan des courants de surface de la forme , lesquels rayonnent à leur tour une onde dans le sens des (c'est-à-dire dans le métal) et une onde dans le sens des (c'est-à-dire dans le vide, du côté de l'onde incidente). Ces deux ondes se superposent à l'onde incidente pour et pour .
II.B. 1 Quelle est la valeur du champ électrique résultant à l'intérieur du métal ?

En utilisant la fonction d'une variable , donner l'expression de , puis celle de et enfin celle de .
II.B. 2 Quelle est la valeur du coefficient de réflexion relatif au champ électrique incident?
II.B. 3 Le graphe de est représenté sur la figure .

En reprenant sur la copie le modèle de la figure 4(b), représenter lisiblement sur un graphique coté la mesure algébrique de la composante selon l'axe du champ électrique réfléchi, en fonction de et à l'instant .

II.B. 4 Une onde électromagnétique plane limitée dans le temps et dans ses dimensions transverses sur une section d'aire transporte une énergie et une quantité de mouvement .
(a) Pour la fonction décrite sur le graphe, calculer ces deux quantités en fonction de l'amplitude maximale du champ, de , de l'aire et des constantes fondamentales et . On utilisera la relation :

(b) Pendant la durée de l'interaction entre l'onde et le plan métallique, calculer la pression moyenne exercée par le champ électromagnétique sur le plan métallique.

Nous nous intéressons dans cette partie au rayonnement d'un plan de dipôles.
II.C. 1 Nous cherchons à établir l'expression du courant de polarisation. Un système globalement neutre occupe un volume . Il est constitué de particules chargées positivement, de densité volumique de charge , et de particules chargées négativement de densité volumique de charge À la suite d'une perturbation, les charges négatives subissent "en bloc" une translation (figure 5 ). La longueur étant très faible devant les dimensions du volume , nous considérons que le système occupe toujours le volume .

(a) Déterminer le vecteur polarisation du système en fonction des paramètres et .
(b) Soit le vecteur densité volumique de courant associé à ce déplacement des charges négatives. Déterminer la relation entre

Pour la suite du problème, nous admettons la généralité de cette relation, que nous avons établie dans un cas particulier.
II.C. 2 Nous étudions l'onde rayonnée par une plaque diélectrique mince, limitée par les plans et , et infinie dans les autres directions. Elle contient, par unité de volume, dipôles de même moment dipolaire .

L'épaisseur de la lame étant supposée petite devant la longueur d'onde associée à l'onde émise, nous pouvons la considérer comme un plan. Nous adoptons par conséquent une description en terme de répartition surfacique des courants de polarisation dans cette lame mince diélectrique.
(a) Déterminer le courant surfacique de polarisation en fonction de et de .
(b) À partir des résultats de la question II.A.4, déterminer le champ rayonné par la lame dans le sens des négatifs, ainsi que le champ rayonné par la lame dans le sens des positifs. On donnera les expressions de ces champs en fonction des paramètres et , de la fonction et de constantes fondamentales.
(c) Une onde plane incidente monochromatique éclaire la lame sous incidence normale. Le champ électrique polarise chaque dipôle selon la relation linéaire :

Déterminer l'onde réfléchie pour une onde incidente monochromatique de pulsation . On utilisera la notation complexe du champ :

Dans son célèbre cours de physique, Richard Feynman explique l'étonnement que provoque la pensée suivante. Une onde électromagnétique progressive de célérité se transforme par passage à travers un dioptre plan en une onde de célérité . Or, nous venons de voir que chaque couche dipolaire crée une onde plane qui se propage à la célérité . Comment alors tous ces rayonnements se "liguent-ils" pour aboutir à une onde de célérité ?

C'est ce paradoxe apparent qui a été résolu dans sa généralité par Ewald en 1912. Nous proposons de montrer dans deux cas particuliers que ces points de vue conduisent effectivement au même résultat.

Nous considérons dorénavant que l'onde incidente est monochromatique de pulsation . Le vecteur d'onde associé dans le vide est , correspondant à une longueur d'onde dans le vide . Nous écrivons en notation complexe son champ électrique sous la forme:

II.D. 1 Commençons par envisager le cas de la lame mince considérée à la question II.C précédente. Cette lame, d'épaisseur , est située entre les plans et . On suppose que est petit devant , et que l'indice de réfraction de la lame est peu différent de 1 .
(a) Quelle est l'importance de l'hypothèse ?
(b) Exprimer pour , le champ total qui résulte de la superposition du champ incident et du champ rayonné par la lame.
(c) En fonction de et , établir les expressions de la permittivité électrique relative et de l'indice de réfraction .
On considérera que le moment dipolaire de chaque dipôle de la lame est donné par

ce qui revient à confondre et dans le cas de la lame de très faible épaisseur.
(d) Exprimer le champ total transmis en remplaçant les paramètres microscopiques et par leur expression en fonction de l'indice de réfraction .
Le déphasage apporté par la lame est-il conforme aux résultats de la question I.B. 2 ? On rappelle que et .
(e) L'expression du champ réfléchi est-elle conforme au résultat final de la question I.B. 1 ?
II.D. 2 Nous considérons maintenant le cas d'une lame diélectrique d'épaisseur infinie qui remplit le demi-espace . Nous supposons que la densité de dipôles est toujours suffisamment faible pour que l'expression soit applicable.

En notation complexe, le champ électrique total s'écrit :

Ce champ total, dont l'expression reste à déterminer, est bien sûr la superposition du champ incident et des champs rayonnés par tous les dipôles rayonnants, eux-mêmes excités par le champ . Cette idée peut être exprimée sous la forme d'une équation intégrale :

(a) Expliquer brièvement comment on aboutit à une telle équation. À partir des résultats de la question II.D.1, expliciter en utilisant comme paramètres et .
(b) On rappelle les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude, pour une interface vide-diélectrique et dans le cas de l'incidence normale :

Un modèle plus complet nous amènerait à remplacer dans l'équation intégrale (14) la fonction par une fonction définie par

En injectant dans l'équation (14) l'expression "classique" du champ transmis (en utilisant le coefficient de l'équation ci-dessus), montrer qu'on obtient bien l'expression "classique" du champ réfléchi pour tout .

Si nous admettons l'unicité de la solution de l'équation (14), nous montrons ainsi que les résultats "classiques" de la propagation d'une onde électromagnétique dans le cas particulier envisagé peuvent effectivement être interprétés par le rayonnement des dipôles qui composent le diélectrique.