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ENS Mathématiques PC 2010

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2010
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2010PC MathsMaths 2010
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Filière PC

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche n'est pas autorisé.

Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies. La partie IV est indépendente de la partie III.

Notations.

Les ensembles des entiers naturels et des nombres réels sont notés respectivement et . Les nombres réels positifs ou nul forment l'ensemble . La norme et le produit scalaire de l'espace Euclidien usuel sont notés respectivement et . Pour et , la boule fermée de centre et de rayon est notée :
Si , on note l'application qui à associe sa -ième coordonnée . On l'appelle la projection sur le -ième axe de coordonnées.
Si est une partie de , le diamètre de est défini par
Si , on définit aussi comme l'ensemble des barycentres de points quelconques de à coefficients positifs : appartient à si et seulement si il existe et tels que
En particulier, .

I. Préliminaires

  1. Soit et . On suppose que . Montrer que l'image de par est un intervalle, qu'on notera .
  2. Si et , montrer que
  1. La réunion des lorsque parcourt est notée . Montrer que
  1. (a) Soit et des nombres réels non tous nuls. On suppose que
Montrer qu'il existe un nombre réel tel que tous les sont positifs ou nuls, l'un au moins d'entre eux étant nul.
(b) En déduire que, si , on a (on admettra que 5 points de sont toujours affinement dépendants, ce qui signifie qu'il existe des nombres réels , non tous nuls, tels que
(c) Montrer alors que .
5. (a) Soit une partie compacte de et un point n'appartenant pas à . Montrer qu'il existe un point de tel que pour tout .
(b) On suppose de plus que . Si , montrer que
(il est utile de s'aider d'un dessin, mais celui-ci ne constitue pas une démonstration).
(c) En déduire qu'il existe un vecteur unitaire tel que

II. Un lemme technique

Dans cette partie, est une partie compacte non vide de , incluse dans . Ses éléments sont des couples ( ) où et . Pour tout nombre réel positif , on note
  1. Montrer que la famille est croissante, c'est-à-dire que
  1. Montrer que chaque est compact.
  2. Montrer que , puis que est un intervalle compact.
  3. Montrer qu'il existe tel que soit non vide.
  4. Soit et . Montrer que, pour tout ,
partir de maintenant, on note la borne inférieure des nombres pour lesquels n'est pas vide.
6. Si , montrer que
où est le maximum de parmi les couples .
7. Pour , montrer que l'intersection des parmi les est un intervalle, réduit à un point, qu'on désignera par .
8. Pour tout , on choisit un élément de . Montrer que converge, lorsque , vers le vecteur de coordonnées . En déduire que n'est pas vide. Montrer qu'il ne contient qu'un seul élément.
Dans la question ci-dessous, on note b l'unique élément de .
9. Soit un vecteur unitaire de .
(a) Pour tout , montrer qu'il existe tel que
(b) On suppose ici que est fini. Déduire de ce qui précède qu'il existe tel que
(c) On définit l'ensemble, noté , des pour lesquels il existe tel que et .
Montrer que appartient à . Indication: on utilisera la question I.5.

III. Application : la boule circonscrite

Soit une partie compacte non vide de .
  1. Montrer qu'il existe une unique boule de rayon minimal contenant . On pourra choisir et appliquer les résultats du II. Cette boule est appelée la boule circonscrite à .
  2. On se donne un nombre et quatre points de tels que pour tout . Puis on choisit tel que pour tout .
    Soit . On suppose que
Montrer que, pour tout ,
et en déduire que
  1. On suppose que est fini. Montrer que le diamètre de la boule circonscrite à est majoré par
Indication : utiliser ce qui précède, ainsi que les questions I.4c et II.9.
4. Sur un exemple, montrer que le diamètre de la boule circonscrite à peut être égal à cette valeur.

IV. Prolongement des applications lipschitziennes

Soit deux nombres entiers. Etant donnée une partie de et une fonction , on dit que ( ) est de classe si
autrement dit, est Lipschitzienne de rapport sur . Si ( ) et ( ) sont de classe , on note si et la restriction de à est égale à .
  1. Montrer que est une relation d'ordre sur l'ensemble des couples ( ) de classe .
  2. Soit ( ) une suite croissante de couples de classe . Montrer que, parmi les couples ( ) de classe , vérifiant
il existe un couple minimal pour la relation .
3. On se donne un couple de classe . On suppose que est fini. Enfin, on se donne un point de n'appartenant pas à . On définit un ensemble par
Dans la suite de cette question, on utilise le nombre c de la partie II, associé à l'ensemble ci-dessus, et on note l'unique élément de .
(a) Montrer qu'il existe des points de et des nombres , vérifiant
ainsi que
(b) En déduire que
(c) Montrer l'inégalité
(on pourra utiliser l'identité précédente, ainsi que ).
(d) En déduire que , puis que
  1. Soit de classe , avec fini.
    (a) Montrer qu'il existe de classe , avec et .
    (b) Finalement, montrer qu'il existe , Lipschitzienne de rapport un, dont la restriction à est égale à .

FIN D ©PREUVE

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