Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

Le but de ce problème est de décrire une méthode permettant de calculer les racines réelles d'un polynôme d'une variable réelle. Le problème est décomposé en trois parties. La première partie est consacrée à l'étude d'une fonction construite à partir de appelée fonction d'exclusion, la seconde partie est consacrée à la recherche d'un réel strictement positif tel que toutes les racines du polynôme soient contenues dans l'intervalle . La dernière partie est consacrée à l'étude d'un algorithme qui utilise la fonction d'exclusion présentée dans la première partie. Cet algorithme permet de calculer une approximation aussi fine que l'on veut de toutes les racines réelles du polynôme .

On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies.

Soient un entier strictement positif et nombres réels avec différent de 0 . On considère le polynôme de degré défini pour appartenant à par . Pour un entier strictement positif, on désignera par la dérivée k-ième de . Enfin, on notera l'ensemble fini des racines réelles de que l'on supposera non vide.
QA.1) Soit un réel fixé, on considère la fonction polynomiale qui à réel associe définie par

Montrer que cette fonction est strictement décroissante sur [ [ et en déduire l'existence d'un unique réel positif pour lequel cette fonction s'annule. Comme ce réel dépend de , on le notera et on aura donc soit

QA.2) On choisit pour le polynôme défini pour appartenant à par

Montrer que

Montrer que la fonction définie de dans et qui à associe est continue sur , dérivable sur privé de et 1 . Montrer que pour ces trois points, la fonction est dérivable à gauche et à droite.

On va désormais étudier, pour un polynôme quelconque mais non constant, les propriétés de la fonction qui à associe de dans . Cette fonction qui est bien définie, d'après la première question, est appelée la fonction
d'exclusion associée au polynôme . Nous montrerons dans la question QA. 5 la propriété caractéristique de cette fonction.
QA.3) Soit appartenant à , montrer que si et seulement si .
QA.4) Montrer que pour tout et tout appartenant à , on a

Soit tel que est non nul, montrer que pour tout tel que , et donc que est aussi non nul.
QA.5) Pour appartenant à , on note

Montrer en utilisant la question précédente que pour tout réel

QA.6) Soient strictement positif fixé et appartenant à .
QA.6.1) On suppose que . Montrer que

Montrer également qu'il existe strictement positif tel que pour tout tel que ,

QA.6.2) On suppose que . Montrer qu'il existe strictement positif tel que pour tout tel que ,

QA.6.3) En déduire que la fonction est continue sur .
QA.7) On désire maintenant étudier la dérivabilité de , ce que nous allons faire en distinguant plusieurs cas.
QA.7.1) Soient et appartenant à étant différent de 0 , montrer que

QA.7.2) Soit appartenant à , on note signe(a) la fonction qui vaut +1 si est positif et -1 sinon. Soit appartenant à tel que est non nul pour tout compris entre 0 et , déduire de la question précédente que la fonction est dérivable en et que

QA.7.3) Soit appartenant à tel que est non nul et tel qu'il existe au moins un entier compris entre 1 et tel que . Montrer que est dérivable à gauche et à droite en mais pas nécessairement dérivable en .
QA.7.4) On suppose désormais et jusqu'à la fin de la partie A que toutes les racines réelles de sont simples. Soit l'une de ces racines, calculer la limite de quand tend vers 0 par valeurs négatives et par valeurs positives. En déduire que est dérivable à gauche et à droite en .
QA.8) Montrer que pour tout et tout appartenant à , on a

On pourra, sans perte de généralité, supposer que est inférieur où égal à et distinguer les cas où est dérivable sur ou non.
QA.9) On admet l'existence de

et de

QA.9.1) Montrer en utilisant la formule (1) que

QA.9.2) En déduire et .
QA.10) Montrer qu'il existe une constante strictement positive telle que pour tout appartenant à ,

On étudiera pour cela la fonction qui à réel associe

pour n'appartenant pas à et

sinon.

Cette partie est consacrée à la recherche d'un réel strictement positif tel que toutes les racines du polynôme soient contenues dans l'intervalle . On note

on supposera désormais que et que les réels ne sont pas tous nuls.
QB.1) Soit la fonction de dans qui à associe

Montrer l'existence d'un unique réel strictement positif pour lequel cette fonction s'annule.
QB.2) Montrer que si est un réel strictement positif tel que est aussi strictement positif alors on a

QB.3) Montrer que

QB.4) Montrer également que

On pourra utiliser pour cela le polynôme défini pour appartenant à par où est une constante convenablement choisie.
QB.5) Montrer enfin que si on suppose que tous les pour variant de 0 à sont strictement positifs, on a

QB.6) Donner un exemple de polynôme pour lequel la question QB. 4 donne une meilleure estimation de que la question QB.5. Donner de même un exemple de polynôme pour lequel la question QB. 5 donne une meilleure estimation de que la question QB.4.

Soit strictement positif fixé, on suppose que a au moins une racine réelle et que ses racines sont simples. Pour un entier on introduit les réels tels que

En utilisant introduit dans la question QA.10, on note pour compris entre 1 et ,

On note enfin

Dans cette dernière partie, on utilise les résultats des parties et pour construire un ensemble tel que

On choisit tel que soit inclus dans et on construit une suite de réels et une suite d'ensembles de de la façon suivante :

On pose et .

Sinon on cherche le plus petit entier strictement positif tel que et on pose . On définit alors si :

et

sinon.
2) Plus généralement, pour supérieur ou égal à 1 , si , on pose et

sinon on cherche le plus petit entier strictement positif tel que et on pose . On définit alors si :

et

sinon.
QC.1) Montrer qu'il existe un entier pour lequel

QC.2) Montrer en utilisant QA.4) que

QC.3) Montrer en utilisant QA.8) et QA.10) que l'on a

QC.4) Comment peut-on adapter cet algorithme si on veut seulement utiliser une valeur approchée de pour compris entre 0 et ?

Remarque: L'idée d'un tel algorithme a été proposée par Jean-Pierre Dedieu et Jean-Claude Yakoubsohn, il fournit un moyen efficace de calculer une bonne approximation des racines du polynôme et s'étend aussi au cas où a des racines multiples. Il demande seulement de calculer une approximation des valeurs de la fonction , ce qui est très simple car la fonction introduite en QA. 1 est strictement décroissante.

Fin de l'épreuve