SESSION 2008

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche n'est pas autorisé.

Ce problème constitue une introduction très rapide aux bases de la méthode de décomposition en fréquences de Littlewood-Paley. Notons que cette méthode est très fortement utilisée par exemple dans l'étude de la propagation de singularités au sein d'équations aux dérivées partielles variées : équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides, équations de Boltzmann dans la dynamique des gaz etc. Nous commencerons par l'introduction des fonctions de découpage en fréquences dont nous donnerons quelques propriétés. Nous utiliserons, par la suite, ces fonctions de découpage en fréquences pour présenter des approximations de fonctions continues -périodiques sur . Nous obtiendrons, entre autres, une estimation d'erreur en norme infinie entre la fonction et sa troncature sur les premières fonctions de base.

Le symbole représente . La convergence de signifie la convergence de chacune des deux séries. Les notations définies dans une question sont conservées pour les questions suivantes.
N.B. On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Nous allons, dans cette partie, définir une fonction qui nous servira pour le découpage en fréquences des fonctions continues -périodiques sur .
QA.1) Soit la fonction définie sur par

Montrer que est de classe sur .
QA.2) En déduire l'existence d'une fonction de classe sur telle que

Indication. Cette fonction sera définie par un produit de deux fonctions construites à l'aide de .
QA.3) Montrer que l'on peut définir une fonction sur par

que est de classe sur et que

Indication. Pour fixé, étudier les propriétés de la suite .
QA.4) On définit sur par

Montrer que la fonction a les propriétés suivantes :

avec égalité pour .

On note l'espace des fonctions continues -périodiques sur , à valeurs complexes, et, pour appartenant à et appartenant à , on pose

QB.1) Soit la fonction définie dans la partie précédente. On pose, pour tout dans ,

Montrer que est continue, que est bornée, et que l'intégrale

est convergente.
QB.2) Soient et appartenant à , on définit, pour appartenant à ,

Pour toute la suite du problème on pose, pour et appartenant respectivement à et à ,

Tournez S.V.P.

QB.3) Soit appartenant à tel qu'il existe , et avec

Montrer que, pour appartenant à ,

Indication. Utiliser les propriétés de (avec et appartenant à ) pour ramener à une somme finie, puis utiliser ensuite les propriétés de établies à la question et la formule de la question précédente pour majorer ensuite l'intégrale et conclure.

On définit les normes sur et par

Si appartiennent à , on note pour appartenant à ,

Soient appartenant à et appartenant à , on note

Pour dans , on désigne par le sous-espace de engendré par les fonctions avec appartenant à et .

QC.1) Montrer que si appartiennent à alors .
QC.2) Soient appartenant à et appartenant à . Exprimer en fonction des coefficients et montrer que appartient à .

QC.3) Si et appartiennent respectivement à et à , on pose

En déduire

Indication. On pourra faire intervenir les sommes partielles de la série de Fourier de .

Pour désigne le sous-espace de constitué des fonctions Höldériennes d'exposant , c'est-à-dire pour lesquelles

est fini. On suppose dans toute la suite fixé avec .
QD.1) Montrer qu'il existe un réel tel que

En déduire que, si appartient à converge uniformément vers quand tend vers l'infini.
Indication. Pour montrer la convergence uniforme vers , on montrera tout d'abord que converge normalement vers une fonction . On identifiera et par une inégalité triangulaire bien choisie et une comparaison des normes et .

Tournez S.V.P.

QD.2) Établir que

et en déduire qu'il existe un réel tel que

où désigne .