Recourir à la simulation numérique est indispensable pour maîtriser la complexité croissante des systèmes physiques ou chimiques. L'impact du choix des modèles d'équations aux dérivées partielles non linéaires et de leur discrétisation sur le code numérique est alors intimement lié aux choix des méthodes numériques mais également à la stabilité intrinsèque des modèles continus. Montrer qu'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaire est stable revient alors à considérer une suite de solutions a priori du système qui est supposée bornée uniformément dans un espace fonctionnel adéquat (en général l'espace d'énergie du système). Il s'agit alors de montrer qu'il existe une sous-suite qui converge en un sens donné vers une entité qui est elle-même solution du système d'équations aux dérivées partielles de départ.

Pour montrer une telle stabilité, les non linéarités du système d'équations aux dérivées partielles peuvent poser quelques problèmes en présence d'oscillations ou de concentrations : oscillations d'ondes acoustiques et phénomènes de concentration de masse par exemple. Nous commencerons ce problème par un exemple d'oscillation et un exemple de concentration où nous verrons que convergence forte et convergence faible vers 0 dans ne sont pas deux notions équivalentes. On établira ensuite diverses inégalités importantes pour l'étude d'équations aux dérivées partielles non linéaires qui permettent de montrer quelques résultats de convergence forte c'est-à-dire quelques résultats de stabilité non linéaire.
N.B. On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Soit l'ensemble des fonctions continues de dans . Pour , on introduit l'application

Pour tout , on définit l'exposant conjugué de par

Cette notation sera utilisée de façon systématique tout au long du texte. On rappelle que sont des normes sur .
Limite sup et limite inf. Par définition, pour toute suite réelle , la limite inf est définie par

Il en est de même pour la limite sup qui est définie par

Convergence faible ou forte vers 0 dans . On dira qu'une suite d'éléments de converge faiblement vers 0 dans si et seulement si, pour toute fonction de classe de dans nulle sur un voisinage de et de (c'est-à-dire qu'il existe tel que soit nulle sur et ) :

On dira que l'on a convergence forte vers 0 dans si et seulement si

Nous allons, dans cette partie, étudier quelques propriétés liées à la convergence faible et la convergence forte vers 0 dans .
QA.1) Soit une suite de fonctions de . Montrer que si cette suite converge fortement vers 0 dans alors elle converge faiblement vers 0 dans .

QA.2) Phénomène d'oscillation. Soit la suite dans définie par . Montrer que cette suite converge faiblement vers 0 dans . A-t-on convergence forte dans vers 0 ? Pourquoi?

QA.3) Phénomène de concentration. Soit la suite définie par

Montrer que les éléments de la suite sont dans . Montrer que cette suite converge faiblement vers 0 dans . A-t-on convergence forte dans vers 0 ? pourquoi?

QB.1) Soient des réels positifs. Soient , montrer par concavité de la fonction logarithme que

QB.2) En appliquant l'inégalité précédente à et , pour bien choisi, montrer que

Cette inégalité s'appelle l'inégalité de Hölder.
Tournez S.V.P.

QB.3) Soient des réels strictement positifs. Soit tel que

Montrer par récurrence que, pour toute famille de fonctions d'éléments de , alors

QB.4) Considérons appartenant à . Soit et avec , et

montrer que

QB.5) Soient avec et une suite de fonctions de qui converge fortement vers pour la norme c'est-à-dire

On suppose également que la suite est bornée pour la norme . Montrer que pour tout strictement compris entre et , la suite converge fortement vers pour la norme .

Dans cette partie, nous allons établir des inégalités dites de Clarkson. Elles permettront de donner un résultat de convergence forte.
QC.1) Soient et deux éléments dans . On désire montrer que, pour , on a

Nous allons scinder la démonstration en trois étapes:
QC.1.1) Montrer que, pour tout positif ou nul,

QC.1.2) En utilisant (2), montrer en posant pour et bien choisis, que, pour tout réels quelconques

QC.1.3) Utiliser la convexité de la fonction qui à dans associer pour en déduire l'inégalité de Clarkson (1).

QC.2) Soient , on désire montrer que, pour , on a

Nous scinderons la démonstration en trois étapes:
QC.2.1) Cette question a pour but de montrer que pour tout dans , on a

QC.2.1.1) En développant en série les différents termes formant , expliquer comment ramener l'étude du signe de à l'étude du signe, pour tout , de

QC.2.1.2) Montrer que la fonction qui à associe (à fixé) est décroissante.

Tournez S.V.P.

QC.2.1.3) Déduire l'inégalité (4) des deux questions précédentes.
QC.2.2) En utilisant (4) avec , montrer que pour tout dans

QC.2.3) Montrer maintenant l'inégalité de Clarkson (3) en utilisant (5) et l'inégalité de Minkowski suivante (que l'on admettra) : pour tout et alors

QC.3) Soient et une suite de fonctions de et appartenant à telles que

et

Montrer en utilisant les inégalités de Clarkson que la suite converge fortement vers pour la norme .