La lubrification désigne le contrôle de l'usure des matériaux par l'introduction d'un film liquide qui réduit le frottement entre les surfaces en quasi-contact et en mouvement relatif. Plus particulièrement, la lubrification hydrodynamique concerne les mécanismes pour lesquels la forme et la vitesse relative de deux surfaces en regard engendrent la formation d'un film mince lubrifié continu sous une pression suffisamment élevée pour empêcher le contact. Le point de départ de la théorie de la lubrification hydrodynamique est un article de Reynolds publié en 1886. Dans cet article, Reynolds obtient de manière heuristique une équation qui porte maintenant son nom et qui constitue le socle des études sur les écoulements de faible épaisseur en régime laminaire.

Le but de ce problème est d'étudier quelques cas simples d'équations de type Reynolds dans le régime établi, stationnaire (i.e. ne dépendant pas du temps), d'un fluide de viscosité et de densité constante.
N.B. On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

On munit de la base orthonormée usuelle . Un point de est représenté par ses coordonnées dans le repère usuel .

Soit un ouvert de , si est une application dérivable en un point ( ) appartenant à , les dérivées partielles de au point de coordonnées sont notées classiquement par :

Soit une application définie sur à valeurs réelles strictement positives, indéfiniment dérivable. On note sa dérivée en . Soit l'ouvert de défini par

On admet que l'écoulement d'un fluide visqueux, confiné entre une paroi inférieure d'équation et une paroi supérieure d'équation 0 , peut, sous certaines hypothèses physiques qui ne font pas l'objet de ce problème, être modélisé mathématiquement de la façon suivante : on recherche de classe de classe et de classe vérifiant, pour tout ( ) appartenant à , les équations

et pour tout

Dans ces équations et sont les composantes au point ( ) suivant et de la vitesse du fluide notée et la pression au point ( ) au sein de ce fluide. Enfin le nombre est la vitesse de la paroi plane qui met le fluide en mouvement.
QA.1) En utilisant (1) et (2), exprimer au point ( ) en fonction de la constante , des variables , des applications et (et éventuellement de leurs dérivées) au point .
QA.2) On définit l'application par

Montrer que est dérivable et que

QA.3) En déduire l'équation de Reynolds, en dimension 1, suivante

Soient et deux constantes strictement positives. On note le vecteur correspondant à la normale extérieure à sur le fond définie par

On remplace les conditions aux bords (4) et (5) par les conditions aux bords suivantes

QA.4) Montrer que l'on a toujours

et expliciter une équation différentielle ordinaire satisfaite par la pression.
Tournez la page S.V.P.

On suppose que les fonctions et définies dans la partie précédente sont périodiques de période . On considère le cas des conditions aux bords (4).
QB.1) Montrer que atteint ses bornes sur . On note et , montrer que .
QB.2) Montrer que s'annule en au moins un point sur .
QB.3) Montrer, en utilisant les résultats de la deuxième partie, l'existence d'une constante telle que

QB.4) Montrer alors que

que et que l'une des égalités ou n'est possible que si est une constante.
QB.5) Soient et deux réels tels que et soit une application positive et continue. On pose pour . Montrer que

En déduire que

où désigne la moyenne de sur .
QB.6) Montrer que, pour tout ( ) appartenant à s'écrit de la façon suivante :

QB.7) En déduire, pour tout appartenant à , la valeur de .
QB.8) L'hypothèse de dérivabilité de et est-elle vérifiée ? A-t-on mieux ? Quelle hypothèse sur suffit pour que et soient de classe ?

Les hypothèses sont celles de la partie B . On suppose, pour et ] - , 0 [ donnés, l'existence d'une trajectoire définie par le couple de fonctions et , de classe définie sur telle que pour tout

On admet que l'existence de trajectoires fermées implique qu'il existe appartenant à tel que l'application change de signe sur ] - [.
QC.1) Expliquer cette condition par un dessin.
QC.2) Montrer qu'une condition nécessaire pour qu'il existe des trajectoires fermées est que

On suppose ici que est donnée, pour tout appartenant à , par

où et sont des réels de . Cette partie fait suite à la partie B.
QD.1) Comment faut il choisir et pour que soit définie sur ? Montrer que et . Exprimer ( ) en fonction de ( ).
QD.2) Calculer et calculer en fonction de et .
QD.3) Exprimer à l'aide de . Calculer la limite de pour tendant vers .

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QD.4) Montrer que l'on peut choisir pour que satisfasse la condition nécessaire à l'existence de trajectoires fermées trouvée dans QC2.

Nous considérons maintenant le cas

avec pour appartenant à et . Il s'agit alors d'une étendue d'eau fermée où nous ne sommes plus dans le cas de données périodiques. On considère alors l'équation de Reynolds sur sous la forme

avec comme conditions aux bords

Avec une condition de moyenne nulle sur , ces conditions aux bords sont les conditions naturelles dans le cas d'une étendue d'eau fermée.

QD.5) On suppose que où et sont des constantes strictement positives et que est une constante non nulle. Déterminer l'ensemble des ( ) telles que

QD.6) On suppose que est une constante non nulle. Montrer que l'on obtient toujours (10) avec . Donner dans ce cas la valeur de .
Indication. On fera le changement de variable et on cherchera des nombres et tels que .
QD.7) On suppose dans cette question que est une fonction de de classe sur avec et . Supposons que , déterminer l'ensemble des telles que soit intégrable sur .

Dans cette partie, nous allons considérer un écoulement tridimensionnel. On munit de la base orthonormée usuelle ( ). Un point de est représenté par ses coordonnées dans le repère .

Soit un ouvert de , si est une application dérivable en un point ( ) appartenant à les dérivées partielles de au point de coordonnées respectivement par rapport à et sont notées :

Soit une fonction vectorielle avec . On note

Si est une fonction scalaire, on note

Soit une fonction vectorielle, dépendant seulement de ( ), avec . On notera .

On suppose que est une application définie sur à valeurs réelles strictement positives, de classe et bornée. Le domaine est l'ouvert de défini par

Tournez la page S.V.P.

Nous allons considérer un écoulement en trois dimensions, en les variables et , en rotation autour de son axe vertical . On suppose que le fluide est soumis à une force de traction horizontale en surface où et sont des fonctions de dans dépendant de ( ) de classe . Si l'on note le vecteur vitesse de l'écoulement où désigne les composantes horizontales de la vitesse et la composante verticale, sa pression (inconnue scalaire) avec et des fonctions de dans de classe et une fonction de classe de dans ; le système d'équations aux dérivées partielles s'écrit, dans le repère lié à la rotation,

et, pour tout ,

On note E le nombre d'Ekman qui permet notamment d'analyser l'effet de la rotation sur l'écoulement.
QE.1) Exprimer la vitesse sous forme complexe au point ( ) en fonction de , des variables et des fonctions et (et éventuellement de leurs dérivées partielles) au point ( ).
QE.2) Montrer que pour tout ( ) dans

QE.3) Calculer en fonction de et leurs dérivées au point ( ), puis montrer que satisfait l'équation aux dérivées partielles en ( ) suivante

où les fonctions et , dépendant de ( ), sont données par

où l'on a noté

QE.4) Donner des équivalents de lorsque . Ces équivalents dépendent-ils de E ?

Fin.