L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies. La partie III est indépendante de la partie II. Il est possible d'aborder la quatrième partie en admettant le résultat du III.7.

Notations.

Les ensembles des entiers naturels et des nombres réels sont notés respectivement

. La norme et le produit scalaire de l'espace Euclidien usuel

(

entier) sont notés respectivement

. Un vecteur

est unitaire si

. La sphère unité de

est notée

Soit

un espace vectoriel réel. Une fonction

est positivement homogène s'il existe un nombre

(le degré d'homogénéité de

) tel que, pour tout

et tout nombre

, on a

. Par exemple, une norme
quelconque est positivement homogène de degré un.
Dans l'algèbre

des matrices

à coefficients réels, la matrice nulle et la matrice identité sont notées

. Un vecteur

est identifié à la matrice colonne

de ses coordonnées. La transposée d'une matrice

est

. En particulier, le transposé d'un vecteur colonne est un vecteur ligne

. On note

le sous-espace vectoriel de

, formé des matrices symétriques, c'est-àdire telles que

. On rappelle que si

, alors les valeurs propres de

sont réelles, et

est diagonalisable dans une base orthonormée. Dans ce cas, on note

ses valeurs propres, comptées avec leurs ordres de multiplicités, et rangées dans l'ordre croissant :

I. Préliminaires

, on définit

Montrer que est une norme sur .
Soit une valeur propre réelle d'une matrice . Montrer que .

II. Cas des matrices symétriques

On démontre ici certaines des inégalités de Weyl pour les matrices symétriques réelles.

Montrer que les fonctions sont positivement homogènes sur . Sontelles impaires ? Sinon, que peut-on dire de ?
Soit et un entier entre 1 et .
(a) Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de dimension , tel que pour tout dans .
(b) En déduire qu'il existe un sous-espace vectoriel , de dimension , tel que pour tout dans .
(c) Soit un sous-espace vectoriel de dimension . En considérant l'intersection de et , montrer le complément suivant à la question (a) : il existe tel que . Quel énoncé obtient-on pour ?
On se donne .
(a) Montrer que, pour ,

(b) En déduire, pour

, on a

III. Cas général ; continuité des valeurs propres

On considère un sous-espace vectoriel

, avec la propriété (D) suivante : toute matrice

, non nulle, est à valeurs propres réelles et simples. A nouveau, ces valeurs propres sont notées

et rangées dans l'ordre croissant :

les inégalités étant strictes si

.
Jusqu'à la question 6 , on se donne une suite

dans

, qui converge vers

. On note (

) une base de vecteurs propres unitaires de

, le vecteur

étant associé à

Montrer que . Par la suite, on notera ( ) une base de vecteurs propres unitaires de , avec .
Montrer qu'il existe une fonction strictement croissante, pour laquelle les suites et les suites sont convergentes. On note et les limites correspondantes. Montrer en outre que les sont unitaires.
(suite) Montrer que pour tout .
(suite) On suppose et . Soit ( ) une base orthonormée du plan engendré par et .
(a) Montrer que .
(b) Montrer que, quitte à extraire de nouveau une sous-suite, on peut supposer qu'en outre, la suite est convergente. On note sa limite. Que peut-on dire de la famille ?
(c) Montrer que est parallèle à .
(d) Soit un plan vectoriel invariant par contenant . Montrer que la restriction de à doit être diagonalisable.
(e) Etablir une contradiction avec la construction de (a), (b). Qu'en concluezvous?
Montrer alors que .
Montrer qu'en fait, c'est toute la suite qui converge vers .
En déduire que les fonctions sont continues sur .

IV. Cas général ; deux inégalités de Weyl

Soit

un sous-espace de

avec la propriété (D) ci-dessus. On choisit deux matrices

, linéairement indépendantes, et on pose

Trouver les limites de en et en .
On suppose que .
(a) Soit un nombre réel. Quel est le degré du polynôme
(b) Montrer que l'équation possède au moins une solution.
(c) En déduire que chaque équation possède exactement une solution, notée , et qu'en particulier chaque est une fonction strictement croissante. Indication : compter soigneusement les racines de .
On ne suppose plus rien sur le signe de .
(a) Montrer que l'application est croissante. Indication : appliquer ce qui précède à et bien choisis.
(b) En déduire que

puis

Remarque : Peter Lax a montré les deux faits suivants

Les inégalités démontrées ci-dessus sont vraies sous l'hypothèse plus faible que les matrices de ont toutes leurs valeurs propres réelles, pas forcément simples, les multiplicités pouvant dépendre de . La preuve est cependant beaucoup plus ardue.
( ) En général, un sous-espace satisfaisant la propriété ( ) ne peut pas se ramener à un sous-espace de par conjugaison.