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ENS Mathématiques PC 2004

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Algèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
X-ENS
Année
2004
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2004PC MathsMaths 2004
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SESSION 2004

Filière PC

MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan
Durée : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies.
Dans ce problème, désigne le corps des nombres réels et celui des nombres rationnels. L'ensemble des nombres entiers positifs est . La partie entière d'un nombre réel positif est l'entier naturel [ ] ayant la propriété .
Le problème décrit la représentation d'un nombre réel en fraction continuée, qu'on appelle aussi "fraction continue". Pour cela, on introduit une notation : si sont des nombres réels strictement positifs, et si , on note
C'est un nombre réel positif. Par exemple,
Q1. Vérifiez les formules suivantes, pour :
et

Convergentes d'une fraction continue

Définissons les nombres et par récurrence (finie pour l'instant):
et
Les "convergentes" de la fraction continue sont les fractions pour .
Q2. Montrer, au moyen d'une récurrence, l'identité
On pourra appliquer l'hypothèse de récurrence aux nombres
Q3. Montrer que
Q4. De même, calculer
Q5. En déduire que les convergentes d'indices pairs forment une suite (finie pour l'instant) strictement croissante, et qu'elles sont strictement inférieures aux convergentes d'indices impairs qui, elles, forment une suite strictement décroissante.

Fraction continue simple

On dit que la fraction continue est "simple" si les nombres sont entiers (donc ).
Q6. Pour une fraction continue simple, montrer que si , et que pour .
Q7. Montrer que les convergentes d'une fraction continue simple sont déjà des fractions irréductibles.
Q8. Calculer et . Plus généralement, montrer que si est pair (respectivement impair), et si est une fraction continue simple, il existe une fraction continue simple avec impair (respectivement pair) telle que
Q9. Dans une fraction continue simple , notons . Montrer que
et trouver les formules correspondantes pour et .
Q10. Démontrer que , sauf dans le cas où avec . Dans ce dernier cas, vérifier que .
Q11. En déduire que, si deux fractions continues simples sont égales:
avec et (hypothèse justifiée par la question ), alors et les deux suites sont identiques.

L'algorithme d'Euclide

Etant donné un nombre réel , on lui associe une suite définie de la façon suivante : on commence par , puis on pose . Si est nul, on s'arrête là. Sinon, on pose et . Plus généralement, si , on pose , et . On obtient ainsi une suite, qui est finie si et seulement si il advient qu'un est nul.

Q12.

  1. Si est rationnel, montrer que chaque nombre est de la forme , où les entiers forment une suite strictement décroissante.
  2. En déduire que tout nombre rationnel est représentable sous la forme d'une fraction continue simple. Combien ce nombre a-t-il de telles représentations?
Q13. On suppose que est irrationnel.
  1. Montrer que la suite est infinie. On parle alors d'une fraction continue simple "infinie".
  2. Montrer que les convergentes admettent une limite quand . Indication : on pourra commencer par prouver que tend vers zéro.
  3. Calculant la suite associée à (c'est-à-dire ), montrer que .
    On dit que admet une représentation en fraction continue simple infinie, et on note
Avec cette notation, on a
  1. Montrer que
Q14. Calculer quand , pour le nombre (écriture décimale). Calculer aussi les convergentes pour . Quel encadrement de obtenez-vous ?

Nombres quadratiques

On dit qu'une fraction continue simple est "périodique" si elle est infinie, et s'il existe tel que à partir d'un certain rang.
Q15. Soit un nombre réel. On suppose que la fraction continue simple qui le représente est périodique.
  1. Exprimer en fonction de et de . Justifiant pour assez grand, montrer que est racine d'une équation du second degré non triviale (c'est-à-dire , à coefficients entiers positifs.
  2. En déduire que est solution d'une équation du second degré non triviale , à coefficients entiers positifs.
Q16. Exemples : calculer les nombres et dont les représentations en fractions continues sont

Propriété de meilleure approximation

Dans cette section, on considère la représentation en fraction continue simple infinie d'un nombre irrationnel .
Q17. Pour , montrer que pour tout entier .
Q18. Soit une fraction rationnelle, avec .
  1. Montrer qu'il existe des nombres entiers et tels que
Vérifier que et sont de signes opposés.
2. En déduire que
puis que .
3. Finalement, si est une fraction rationnelle avec et , montrer que .
Q19. En utilisant la question précédente, montrer que, parmi deux convergentes consécutives, l'une au moins satisfait
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