J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques PC 2002

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionTopologie/EVNEquations différentielles
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2002
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2002PC MathsMaths 2002
2025_08_29_2b74e94d09ac41d4dfaeg
SESSION 2002

Filière PC

(Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan)

MATHEMATIQUES

DUREE : 4 heures
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Avertissement. On attachera la plus grande importance à la clarté et à la précision des démonstrations, ainsi qu'à la présentation des copies.
Dans ce problème, désigne une fonction continue, -périodique. On examine certaines propriétés des solutions de l'équation différentielle
Nous étudions ensuite comment ces propriétés varient dans le cas de l'équation
paramétrée par . Par "solution de ou de ", nous entendons des solutions de classe , définies sur , à valeurs réelles ou complexes. Nous dirons qu'une solution de ou de n'est pas nulle s'il existe tel que .

Propriétés élémentaires

On rappelle que, d'après le cours, il existe une et une seule solution de (H ) qui prenne, ainsi que sa dérivée, des valeurs prescrites et en un point donné . Utilisant ce résultat, nous notons les solutions de définies par les conditions
et nous formons la matrice
dont la trace est notée .
Q1. Montrer que est une fonction constante, égale à un.
Q2. Montrer que, pour toute solution de (H), à valeurs complexes, on a
Plus généralement, donner une expression de
lorsque .
Q3.
  1. Lorsque , montrer que est diagonalisable.
  2. Plus généralement, discuter la position des valeurs propres de dans le plan complexe, suivant la valeur de .
Q4.
  1. Soit un vecteur. Montrer qu'il existe une et une seule application , définie sur (on dira "une suite") et à valeurs dans , vérifiant et .
  2. Cas . Montrer qu'une telle suite est toujours bornée.
  3. Cas . Montrer qu'une telle suite, lorsque , ne peut pas être bornée.
  4. Cas . Montrer qu'au moins une telle suite, avec , est bornée et que, pour que toutes ces suites soient bornées, il faut et il suffit que soit égale à ( est la matrice identité).
    Q5. On suppose que .
  5. Montrer qu'il existe une solution non nulle de (H) de la forme , où est une fonction -périodique et .
  6. En déduire que toutes les solutions de (H) sont bornées.

Nombre de zéros des solutions réelles de (H)

Nous dirons qu'un nombre réel est un zéro d'une fonction si . Les solutions à valeurs réelles sont appelées solutions réelles.
Q6. Soient deux solutions réelles de , linéairement indépendantes. Nous notons la fonction (avec ). C'est une autre solution, à valeurs complexes.
  1. Montrer que ne s'annule en aucun point de .
  2. En déduire qu'il existe des fonctions et , réelles et de classe , telles que .
  3. Montrer que est une constante non nulle.
  4. Montrer que la forme générale des solutions à valeurs réelles de est
  1. En déduire que, si l'une des solutions réelles non nulles de s'annule une infinité de fois, alors toutes les solutions réelles de en font autant.
    Q7. On suppose dans cette question que . Montrer que toute solution réelle de (H) s'annule une infinité de fois. Pour cela, on considèrera une solution non nulle de la forme , où est une fonction -périodique (voir la question Q5). On notera et ses parties réelle et imaginaire et on utilisera la question Q6.
Q8. On suppose qu'il existe une solution réelle de (H) qui ne s'annule qu'en un nombre fini de points.
  1. Montrer qu'il existe une solution réelle de , et un nombre réel , tels que
    (a) pour tout ,
    (b) pour tout .
  2. Montrer que .
  3. On note . Calculer et vérifier que est -périodique. En déduire que
Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
4. Montrer que pour toute fonction -périodique et de classe , on a
A quelle condition sur a-t-on l'égalité ?
Q9. On suppose qu'il existe une solution non nulle , réelle et -périodique, de . Montrer que si , toutes les solutions réelles de s'annulent une infinité de fois.
Q10. Montrer l'équivalence des propositions suivantes:
  • Il existe une solution de qui ne s'annule qu'en un nombre fini de points,
  • toute solution non nulle de ne s'annule qu'en un nombre fini de points.
Q11. On suppose que les solutions réelles non nulles de ne s'annulent qu'en un nombre fini de points. Soit comme en Q8.1. Etant donné un nombre , on désigne par la solution de ( ) qui satisfait les mêmes conditions initiales que :
  1. Montrer l'identité
  1. Soit un zéro de , tel que ne s'annule pas entre 0 et . On souhaite établir une contradiction. Au moyen de l'identité ci-dessus, montrer que est strictement positif. Puis, considérant les variations de , montrer que ce nombre est négatif.
  2. En déduire que les solutions réelles non nulles de ( ) ne s'annulent qu'un nombre fini de fois.
Q12. On suppose que pour tout . Montrer par un argument de convexité que les solutions réelles non nulles de (H) s'annulent au plus une fois.

Q13.

  1. Finalement, montrer qu'il existe un nombre réel , unique, satisfaisant les propriétés suivantes :
    (a) pour , les solutions réelles non nulles de ( ) ne s'annulent qu'un nombre fini de fois,
    (b) pour , les solutions réelles de ( ) s'annulent une infinité de fois,
  2. Montrer les inégalités

Etude de ( )

Etant donné , on désigne par et les solutions de qui vérifient
et nous formons la matrice
dont la trace est notée . On admet que les applications et sont continues, pour .
Q14. Montrer que .
Q15. D'après les questions Q8 et Q13, on sait que, pour , il existe une solution de , réelle, strictement positive, et un nombre tel que pour tout .
  1. Montrer qu'on peut choisir sous la forme
.
2. Montrer qu'il existe une suite , avec , convergente vers . telle que converge vers une limite, qu'on notera .
3. Définissons . Vérifier que est une solution non nulle de ( ) dont les valeurs sont strictement positives.
4. Montrer qu'il existe un nombre réel tel que pour tout .
Q16. On garde les notations de la question précédente, et on suppose que .
  1. Montrer qu'il existe un intervalle ouvert , contenant , et une application continue , telle que et .
  2. Vérifier que . Construire alors une application , de dans , telle que
soit un vecteur propre de , pour la valeur propre .
3. Considérons, pour , la solution de . Montrer que s'annule au moins une fois dans .
Q17. En déduire que . Qu'en déduisez-vous sur ?
Q18. Montrer que, si
alors est une fonction constante.
ENS Mathématiques PC 2002 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa