L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Avertissement: Les labels

, avec

indiquent les questions, certaines d'entre elles étant découpées en sous-questions numérotées de 1 à

, avec

. Le problème s'achève avec l'étude de deux exemples.

Notations

Le problème concerne l'étude des matrices carrées à coefficients réels, dont l'ensemble est noté

. La matrice nulle est notée

et la matrice identité est

. L'ensemble

des matrices inversibles forme un groupe (dit groupe linéaire) pour la multiplication des matrices. Ses éléments sont les matrices de déterminant non nul.

On notera

le groupe orthogonal et

l'ensemble des matrices symétriques réelles à

lignes. On a donc

. Rappelons que

est l'ensemble des matrices

qui satisfont

ou, ce qui revient au même,

On identifie canoniquement les vecteurs de

aux matrices colonnes à

lignes. En particulier,

est identifié à

On admettra l'énoncé suivant (interpolation polynomiale) : si

sont des nombres réels, il existe un polynôme

tel que

pour tout

Fonctions de matrices

Q0 Soit

. Montrer que

pour tout

Q1 Soit

deux polynômes à coefficients réels. On suppose que

pour chaque valeur propre (réelle ou complexe) de

et que

est diagonalisable. Montrer que

Q2 Si

est diagonalisable et si

est un polynôme tel que

pour toute valeur propre de

, on note

(l'exponentielle de

) la matrice

. Montrer que cette définition n'est pas ambigue.

Q3 Soit

une matrice diagonale et

. Expliciter la matrice

. Montrer que la fonction à valeurs vectorielles

est de classe

Q4 l. Soit

deux fonctions continûment dérivables. Montrer que l'application

, définie par

est de classe

et que

.
2. En déduire que, si

est diagonalisable, alors la fonction

est dérivable et que

Matrices symétriques définies positives

Q5 1. Si

, vérifier que

est un nombre. Exprimer ce nombre au moyen des coefficients de

. Que reconnaissez vous lorsque

, on définit une application

par

. On pourra remarquer que

.
2. Si

, exprimer

sous la forme

pour un vecteur

convenable.
3. Soit

. On dit que

est définie positive si

implique

. On désigne par

l'ensemble des matrices symétriques définies positives. Montrer que

entraine que

est inversible et que

.
4. Soit

. Montrer que

.
5. Soit

. Montrer que

Q6 Soit

Montrer qu'il existe et une matrice diagonale , réelle avec pour tout , telles que .
Soit un polynôme réel tel que pour toute valeur propre de . Montrer que la matrice ne dépend pas du choix de et satisfait .
On appelle la racine carrée de et on note .
Montrer que . En déduire que est une bijection de dans lui-même.
Montrer que .

Q7 Par une méthode analogue, montrer que

est une bijection (on pourra d'abord construire l'application réciproque).

Q8 Soit

. On définit

Montrer que .
Soit , puis . Montrer que .

L'égalité

, avec

, est appelée décomposition polaire de

.
3. Montrer que la décomposition polaire de

est unique.

Structure des groupes polaires

est un sous-groupe de

, nous dirons que

est polaire s'il vérifie les deux propriétés suivantes

est stable par transposition : implique ,
si , alors .

Q9 Soit

un sous-groupe polaire de

. Montrer que

est stable par la décomposition polaire : si

avec

, alors

. Montrer que

est un sous-groupe multiplicatif.

Tournez la page S.V.P.

Q10 Dans cette question et jusqu'à la fin du problème,

est une matrice vérifiant

, où

. On définit l'ensemble

Montrer que est un sous-groupe de et que pour tout .
Montrer que est stable par transposition.
Soit . Notant l'ensemble formé par les valeurs propres de et leurs inverses , montrer qu'il existe un polynôme tel que pour tout . En déduire que et .
Soit . Montrer que pour tout polynôme (on pourra commencer par le cas des monômes).
En déduire que est un groupe polaire.

Q11 1. On définit l'ensemble

Montrer que

est un sous-espace vectoriel de

et que

implique

.
2. Soit

une matrice diagonalisable,

et soit

. Calculer

et en déduire que

.
3. Réciproquement, soit

une matrice diagonalisable telle que

pour tout

. Montrer que

Q12 Soit

Soit la matrice symétique réelle telle que . Si , montrer qu'il existe un polynôme tel que et .
En déduire que pour tout .
Conclure que est une bijection.

Q13 Vérifier que

réalise une bijection de

dans

, où

est un sous-groupe de

est un sous-espace vectoriel de

Exemple 1: Si

, avec

, on choisit

de la façon suivante (décomposition par blocs):

Calculer la dimension de .
Montrer que l'application

est une bijection de

dans

.
Exemple 2: De même, si

, avec

, on choisit

sous la forme

Calculer la dimension de .
Montrer que est l'ensemble des matrices de la forme

où