J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques BCPST 2015

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2015
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2015BCPST MathsMaths 2015
2025_08_29_d6d12eeb73f2f23c53f6g

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

CONCOURS D'ADMISSION SESSION 2015

FILIÈRE BCPST

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon, Paris et de l'ENPC

Durée : 4 heures

Abstract

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

L'examen est composé de cinq parties. Chaque partie peut se traiter de manière indépendante en admettant les résultats principaux des parties précédentes. Pour les parties 3 et 4 , les résultats principaux sont énoncés en début de partie.
Dans ce qui suit, on utilisera les notations suivantes.
  • Pour tout est le complexe conjugué de est le module de , c'est à dire . est la partie réelle de sa partie imaginaire.
  • est l'ensemble des matrices carrées réelles de dimension par .
  • est la transposée de .
  • est l'ensemble des matrices inversibles dans .
  • On identifiera avec l'espace vectoriel composé des vecteurs colonnes réels de taille . On identifiera avec l'ensemble des vecteurs colonnes complexes de taille .
  • Pour tout est le spectre de , c'est à dire l'ensemble des tel qu'il existe non nul satisfaisant .

1. Résultats préliminaires 1 : Matrices strictement positives

On dit qu'une matrice de est strictement positive si et seulement si tous ses coefficients sont strictement positifs.
(1.1) Soit . Montrer que .
(1.2) En déduire que , et que si et seulement si .
(1.3) Soit une matrice strictement positive. Soit tel que
où est le -ème composante de . Montrer que pour tout , on a .
Pour deux vecteurs , on écrira si et seulement si
où est la -ème composante de , et est la -ème composante de . De même, on écrira si et seulement si
Enfin, si (respectivement ) pour tout , on écrira (respectivement ).
(1.4) Soient deux vecteurs distincts tels que et une matrice strictement positive. Montrer que .
(1.5) En déduire l'existence d'un réel , tel que .

2. RÉsultats préliminaires 2 : algèbre linéaire

On dit que est une loi de probabilité si et seulement si et .
(2.1) Montrer que si sont deux lois de probabilité telles que
alors .
Pour tout , on définit le rayon spectral
et la norme infinie
(2.2) Pour tout , démontrer que pour tout , on a , où .
(2.3) En déduire que .
Dans les parties suivantes, on va utiliser le théorème de Gelfand qui s'énonce de la manière suivante:
Théorème 2.1. Pour tout existe et est égale à .
Dans cette sous-partie, on montrera ce résultat dans le cas particulier où est une matrice diagonalisable dans , c'est à dire qu'il existe et diagonale tel que
(2.4) Soient . Montrer que .
(2.5) Soient une matrice inversible de et . Montrer que
Pour la deuxième inégalité, on remarquera que
(2.6) En déduire le théorème de Gelfand dans le cas particulier où est diagonalisable dans .
Dans ce qui suit, on aura aussi à utiliser le théorème suivant.
Théorème 2.2. Pour tout .
Encore une fois, on se contente de démontrer ce résultat dans le cas particulier où est diagonalisable dans , c'est à dire,
où et sont définis comme dans les questions précédentes.
(2.7) En calculant , montrer que . On rappelle aussi que .
(2.8) En déduire que
et que .

3. Le théorème de Perron Froebenius

Dans cette partie, on admettra la version générale du théorème de Gelfand, i.e., le théorème 2.1 énoncé plus haut. En admettant ce résultat, l'objet de cette section est la démonstration du théorème suivant.
Théorème 3.1. Soit une matrice strictement positive. Il existe une unique loi de probabilité telle que . De plus, et
C'est la première partie du célèbre théorème de Perron-Froebenius.
Pour le restant de cette section, on considère une matrice strictement positive.
Soit une valeur propre de , telle que et soit non nul tel que .
(3.1) Montrer que , où pour tout dénote le vecteur tel que
(on prend la valeur absolue de chaque coordonnée).
On veut maintenant montrer par contradiction que . On suppose temporairement que n'est pas égal à .
(3.2) En utilisant la question (1.5), montrer l'existence d'un tel que
(3.3) En déduire que
(3.4) Montrer que
(3.5) En utilisant le théorème de Gelfand (théorème 2.1 plus haut), en déduire par l'absurde que est un vecteur propre de et que est sa valeur propre associée.
(3.6) Montrer que .
Dans ce qui suit, on va montrer que et qu'il existe tel que .
(3.7) En utilisant les questions précédentes, montrer que
(3.8) Reformuler l'expression
comme une somme double, et en utilisant la question (1.3), en déduire que
(3.9) En déduire qu'il existe tel que .
(3.10) Montrer que , et que est l'unique élément dans
(3.11) Montrer qu'il existe une loi de probabilité telle que .
On va maintenant montrer par l'absurde que
où est la loi de probabilité définie dans la question précédente.
(3.12) Soit tel que et . Montrer que l'on peut choisir tel que et tel que au moins un des coefficients soit égal à 0 .
(3.13) En utilisant une des questions préliminaires, en déduire que si .
(3.14) En déduire par l'absurde que
(3.15) En conclure que est l'unique loi de probabilité telle que .

4. Les matrices stochastiques

On dit qu'une matrice est stochastique si et seulement si
et
(4.1) Montrer que si est stochastique, alors est stochastique pour tout . On pourra d'abord montrer que si et sont stochastiques, alors leur produit est stochastique.
(4.2) Montrer que si est une loi de probabilité, alors est aussi une loi de probabilité pour tout .
(4.3) Montrer que est un vecteur propre de et calculer la valeur propre associée.
(4.4) Démontrer que . On pourra s'aider de la question (2.3).
(4.5) Si est strictement positive, déduire l'existence d'une unique loi de probabilité telle que , et que de plus .

5. Le modèle de Wright-Fisher avec mutation

On considère une urne composée de boules, avec boules noires et boules blanches. On effectue tirages avec remise.
(5.1) Soit le nombre de boules noires tirées. Sachant que , exprimer comme la somme de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli dont on spécifiera le paramètre.
(5.2) Quelle est la loi de sachant que ?
(5.3) Soit . Soit tel que . Que peut on dire de la probabilité conditionnelle que appartienne à , sachant que , c'est à dire:
lorsque est grand ?
(5.4) On fait l'hypothèse que la composition initiale de l'urne est aléatoire. On représente la loi de à l'aide d'un vecteur , tel que pour . On remarquera que les coefficients du vecteur sont ici indexés de 0 à .
Soit la loi de (elle aussi représentée par un vecteur de taille indéxé de 0 à ). Montrer que
où pour .
(5.5) Montrer que est stochastique et calculer explicitement ses coefficients.
On peut interpréter le modèle précédent comme un modèle de génétique d'une population haploïde composée de individus. Chaque individu est caractérisé par un type (blanc ou noir), où et représentent les deux allèles possibles en un locus donné du génome.
À temps 0 , on suppose que individus sont porteurs de l'allèle , alors que individus sont porteurs de l'allèle . À temps 1 , les individus sont remplacés par nouveaux individus dont le type est choisi de la manière suivante: chaque nouvel individu hérite du type d'un individu de la génération 0 (le parent), cet individu étant choisi uniformément au hasard dans la population à temps 0 . représente alors le nombre de porteurs de l'allèle au temps 1 .
Dans ce modèle, on introduit maintenant un paramètre de mutations . Plus précisément, un individu hérite de l'allèle parent avec probabilité ( ), et de l'allèle opposé avec probabilité . On notera que le cas correspond au modèle d'urne étudié dans les questions précédentes.
(5.6) Reprendre les questions (5.1) et (5.2) avec .
(5.7) Déterminer la matrice telle que
où et sont définis de manière analogue aux questions précédentes.
(5.8) Lorsque , montrer qu'il existe une unique loi de probabilité telle que
On dit que est la loi invariante du modèle. Justifier cette terminologie.
(5.9) Démontrer que
(5.10) En déduire en fonction de .
(5.11) En déduire lorsque [ (où est la loi invariante définie en (5.8)).
Pour le moment, on a défini la dynamique de la population entre le temps 0 et le temps 1. Pour obtenir la composition allélique de la population au temps , on réitère la même experience aléatoire fois de manière indépendante.
(5.12) Soit la loi de probabilité à temps . Démontrer que la suite converge vers lorsque .
(5.13) La suite converge-t-elle lorsque ou ?
Pour information: avec un peu plus de travail (qu'on ne fera pas ici), on peut démontrer que converge vers la loi invariante lorsque .
ENS Mathématiques BCPST 2015 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa