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ENS Mathématiques BCPST 2012

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X-ENS
Année
2012
Filière
BCPST
Matière
Maths
X-ENS BCPSTX-ENS 2012BCPST MathsMaths 2012
2025_08_29_25370a2fef1834462608g

Filière BCPST

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Épreuve commune aux ENS de Cachan, Lyon et Paris

Durée : 4 heures
L'usage de toute calculatrice est interdit.
Ce sujet porte sur les équations de Lotka-Volterra dites "proies-prédateurs", utilisées en dynamique des populations.
Il comporte une partie préliminaire suivie de 4 parties présentées par ordre croissant de difficulté. Les résultats prouvés dans la partie préliminaire seront utilisés dans la première et la deuxième partie. La quatrième partie utilise des résultats de la troisième partie. En dehors de cela, les parties sont indépendantes.
Il est recommandé de lire attentivement et patiemment le sujet. Il est demandé de veiller au soin de la présentation, ainsi qu'à la rigueur et à la concision des raisonnements.

Notations

L'ensemble des nombres réels est noté , celui des nombres réels positifs et l'ensemble des vecteurs de dimension 3 à coefficients réels est noté .
L'ensemble des nombres complexes est noté , l'ensemble des vecteurs de dimension 3 à coefficients complexes est noté et celui des matrices carrées de dimension 3 à coefficients complexes est noté . Si désigne sa partie réelle, sa partie imaginaire, son conjugué et son module.
Pour un vecteur désigne la norme euclidienne de . Si on se donne trois vecteurs et , alors désignera la matrice de dont la première colonne est , la seconde et la troisième .
On dira que est un polynôme réel de degré 3 si on peut écrire pour tout , où et sont des nombres réels, avec . On dira que est de coefficient dominant 1 si . On dira que est une racine réelle de si et .
Pour une fonction de trois variables dérivable, désigne la valeur en de la dérivée partielle de par rapport à . On définit de même et .
Enfin, (respectivement ) désigne l'ensemble des fonctions de dans (respectivement ) continues sur , dérivables et dont les dérivées sont continues.

Préliminaires

Soit et . Le but de ces préliminaires est d'étudier les propriétés de la fonction définie pour tout par .
  1. Étudier les variations de . Calculer et .
  2. Montrer que pour tout , l'équation admet deux solutions distinctes et . Que peut-on dire quand ?

Première partie : Équation de Lotka-Volterra classique

Cette première partie est consacrée à l'étude de l'équation de Lotka-Volterra, donnée par
où et sont des constantes réelles strictement positives. L'origine de modèle sera discutée dans les questions 14., 15. et 16. à la fin de cette partie.
On admettra par la suite que si l'on se donne deux réels positifs et , il existe un unique couple satisfaisant (1) pour tout tel que , et pour tout . On fixera par la suite et et on considèrera la solution associée. On notera dans toute cette partie
et on pose pour tout
  1. Montrer en utilisant la question 1. que si et , alors
  1. Montrer que pour tout .
  2. Montrer que s'il existe tel que et , alors et .
  3. Montrer qu'il existe une constant telle que si ou , alors . En déduire que et sont bornées sur .
On suppose dans les questions 7., 8., 9. et 10. que et .
7) On suppose dans cette question que pour tout .
a) Montrer que est croissante en et admet une limite finie quand . On note .
b) On suppose que . Montrer que admet une limite finie quand . Montrer qu'il existe et tels que pour tout . En déduire une contradiction.
c) On suppose que . Montrer qu'il existe tel que est croissante sur . En déduire une contradiction en vous inspirant du ).
8) Déduire de la question 7.b) qu'il existe tel que . Expliquer pourquoi on peut supposer que pour tout . Montrer que .
9) Expliquer comment prouver qu'il existe tel que et .
10) A l'aide de la question 2., montrer que .
11) Montrer que les fonctions et sont -périodiques, c'est-à-dire que et pour tout . On pourra poser et identifier une équation satisfaite par .
12) Montrer en utilisant l'équation (1) que
Que représentent ces deux intégrales? Qu'y a-t-il de particulièrement notable dans ces égalités?
L'équation (1) a été introduite par Volterra après la première guerre mondiale afin de comprendre la dynamique des populations de sardines et de requins en mer Adriatique. Volterra cherchait notamment à comprendre pourquoi les quantités de sardines pêchées après l'interruption dûe à la guerre n'étaient plus aussi importantes qu'auparavant alors qu'à l'inverse la proportion observée de requins avait augmenté.
Dans l'équation (1), représente la densité de proies (les sardines), la densité de prédateurs (les requins), le taux de croissance par individus des proies, le taux de mortalité par individus des prédateurs, le taux de prédation et le paramètre d'efficacité de la conversion de nourriture en croissance.
13) Commenter brièvement ces différentes dénominations. Quelles sont les hypothèses cruciales sur lesquelles repose ce modèle?
14) Comment répercuter la baisse d'intensité de la pêche dans l'équation (1)?
15) En vous appuyant sur les questions 12., 13. et 14., montrer que l'équation (1) donne une explication aux observations de Volterra.
16) Calculer la solution de (1) quand et . Ce type de solution vous semble-t-il réaliste? Discuter de même le cas où et .

Deuxième partie : Équation avec croissance logistique des proies

On s'intéresse dans cette partie à une variante de l'équation (1) :
où et sont des constantes réelles strictement positives.
17) Soit et . Vérifier que dans ce cas une solution de (2) est donnée pour tout et
  1. Tracer approximativement le graphe de la fonction définie dans la question précédente.
  2. Cette solution vous semble-t-elle plus réaliste que celle de la question 16.? Que représente la constante dans ce modèle ?
On supposera dans toute la suite du problème que afin de simplifier les calculs.
On admettra par la suite que si l'on se donne deux réels positifs et , il existe un unique couple satisfaisant (2) pour tout tel que , et pour tout . On fixera par la suite et et on considèrera la solution associée. On notera dans toute cette partie :
et pour tout
  1. Montrer que pour tout :
  1. Montrer que pour tout .
  2. Montrer que la fonction converge quand . On note .
  3. Montrer que les fonctions et sont bornées sur .
  4. On suppose dans cette question ainsi que dans la question 25. qu'il existe une suite telle que et telle que les suites et convergent. On note et .
    a) Montrer que et . On pourra commencer par calculer .
On définit ( ) la solution de l'équation (2) avec données initiales et . On admettra que pour tout :
b) Montrer que pour tout :
c) En déduire que . Conclure que .
On admettra qu'on peut déduire de la question 24. que quand .
25) On suppose dans cette question que .
a) Montrer que est bornée.
b) En déduire qu'on peut construire une constante et un entier tels que pour tout , s'il existe tel que , alors .
c) Montrer qu'il existe tel que si , alors et
d) Montrer qu'il existe tel que si et .
e) Montrer que pour tout .
f) En déduire qu'une telle suite n'existe pas.
On admettra qu'on peut déduire de la question 25. que converge vers quand .
26) Commenter les résultats obtenus dans cette partie, en les comparant notamment avec les résultats obtenus dans la partie précédente.

Troisième partie : Polynôme de degré 3 à coefficients positifs

On considère dans cette partie un polynôme réel de degré 3
avec et . Le but de cette partie est de déterminer le signe des parties réelles des racines de .
27) Montrer qu'il existe telle que .
28) Montrer que .
29) Montrer que si , alors il existe tel que .
30) On suppose dans cette question uniquement que . Étudier les variations de et montrer que est la seule racine réelle de , c'est-à-dire que pour tout tel que .
On supposera par la suite que est la seule racine réelle de et que . On ne fait par contre plus nécessairement l'hypothèse que .
31) Expliquer pourquoi on peut écrire sous la forme
où .
32) Montrer que
  1. Montrer que et ont même signe.

Quatrième partie : Équation à trois populations

Cette dernière partie est consacrée à l'équation :
où et sont des constantes réelles strictement positives telles que .
34) Expliquer brièvement ce que modélise cette équation et sur quelles hypothèses elle repose.
35) Montrer qu'il existe une unique solution de
telle que et .
On introduit la fonction définie par
Soit la matrice définie par
  1. Montrer que
  1. On considère dans cette question une valeur propre complexe de et tel que .
    a) Montrer que .
    b) Exprimer et en fonction de et . Montrer que .
  2. Construire un polynôme de degré 3 et de coefficient dominant 1 tel que est une valeur propre de si et seulement si .
On écrira par la suite sous la forme :
  1. En utilisant les résultats de la troisième partie, montrer que si est une valeur propre de , alors .
On supposera par la suite que
  1. Montrer en utilisant la question 30. que le polynôme admet une unique racine réelle.
  2. Montrer qu'il existe une matrice diagonale s'écrivant
où et , ainsi qu'une matrice inversible telles que .
On s'intéresse maintenant à l'équation différentielle
et on considère une solution de cette équation définie pour tout .
42) Expliquer brièvement pourquoi, si et sont proches de et respectivement, alors l'équation (5) constitue une bonne approximation de l'équation (3).
43) On pose pour tout , où a été défini à la question 41.
a) Quelle équation satisfait ?
b) Calculer en fonction des coordonnées de , de et de .
c) Montrer que quand .
d) En déduire que quand .
44) Expliquer comment on pourrait prouver le résultat suivant : il existe tel que si est une solution de (3) telle que , alors et .
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