Le but de ce sujet est de définir et de résoudre partiellement trois modèles concernant l'abondance d'une espèce ou les abondances respectives de plusieurs espèces en coexistence.

Le sujet comporte trois parties indépendantes de longueurs inégales pouvant être traitées dans un ordre quelconque.
Les candidats composeront sur des copies séparées pour chaque partie, en les identifiant clairement. Il est recommandé de veiller au soin de la présentation, à la rigueur et à la concision des raisonnements. Les démonstrations s'appuyant sur des représentations graphiques pourront s'avérer utiles.

Notations

L'ensemble des nombres réels est noté

. Le logarithme (neperien) est désigné par

.
Pour tout entier naturel

, la notation

! désigne le produit des

premiers entiers, où par convention

. On rappelle que le nombre de parties à

éléments d'un ensemble à

éléments est noté

et vaut

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle (v.a.r.)

est notée

et sa variance

. La covariance de deux v.a.r. X et Y est notée

.
Pour toute v.a.r. X et tout nombre réel

est abrégé en

.
L'indicatrice

d'un événement A est la variable aléatoire qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon. En particulier,

Première partie : le partage aléatoire de MacArthur

L'une des plus anciennes façons de modéliser la répartition des ressources (et donc des abondances) entre

espèces, consiste à supposer que la quantité totale des ressources disponibles est constante et est divisée aléatoirement entre les

espèces présentes. Pour ce faire, on « jette

points uniformément et indépendamment dans l'intervalle [

], qui définissent

fragments adjacents aléatoires et de même loi, mais de somme 1 . Chacun de ces fragments représente la part des ressources allouée à chaque espèce.

Plus précisément, on considère

variables indépendantes

uniformes sur

. On désigne par

, le réarrangement croissant des

. Les

fragments adjacents sont donc de tailles

, où par convention

. Il est à nouveau possible de ranger ces fragments dans l'ordre croissant de leurs tailles, soit par définition

Pour spécifier que le nombre de fragments considérés est

(bien que le nombre de points jetés soit

), nous noterons la probabilité

a) Montrer que pour pour tous entiers , et tout réel ,

b) En déduire une expression générale, pour tous entiers

, de

c) Montrer que

.
d) Expliquer pourquoi en général, bien que les

soient une renumérotation des

. Montrer en particulier que

Le but de cette question est de déterminer la loi du plus petit fragment, . On note l'intervalle ouvert .
a) Montrer que .
a-ii) Établir que pour .
b) Soient et une fonction réelle de . Montrer que si sont des v.a. indépendantes uniformes sur ,

𝟙

b-ii) Pour

, justifier l'égalité

Indication. On pourra se ramener aux cas où

.
c) Montrer par récurrence sur

que pour tout

d) En déduire que

a) ) Soient et U une v.a. uniforme sur . Montrer que la loi de U sachant est la même que celle de .
a-ii) Soit . Justifier, par exemple à l'aide d'une représentation graphique, que la loi du -uplet sous , est la même que celle, sous , du -uplet

b) Pour

, en déduire une relation entre

.
c) Pour

, on définit

. Donner une relation entre

, puis établir le résultat final :

Deuxième partie : la métaphore de la cantine

Dans cette partie il s'agit de caractériser la loi du nombre d'espèces représentées dans un échantillon de

individus, et leurs abondances respectives, à l'aide d'un unique paramètre.

Soit

un réel strictement positif. Des individus numérotés

, arrivent successivement dans une salle de restaurant contenant une infinité de tables infiniment longues. Le premier individu s'assied à une table au hasard. Pour tout entier

, lorsque l'individu

arrive, il choisit au hasard un des

convives déjà attablés avec la probabilité

, et s'assied à la même table, ou occupe une nouvelle table avec la probabilité

L'entier

désigne le nombre de tables occupées lorsque

convives se sont installés et pour

, on note

. La répartition de ces

convives en

tables est une métaphore pour la répartition d'un échantillon de

individus vivants en

espèces.

a) Montrer que

b) Pour tous

, trouver une relation entre

.
2. Soient

les polynômes de degré

suivants

a) Donner une relation de récurrence vérifiée par

.
b) En déduire que

On admettra que cette équation caractérise la loi de

, mais dans la question suivante, on se concentre sur son espérance et sa variance.
3. a) Montrer que

et en déduire

Indication. On pourra prendre le logarithme de

.
b) Montrer que

et calculer

.
4. Dans cette question, on cherche à obtenir directement les résultats de la question précédente.
a) Montrer que

où les

sont des variables de Bernoulli indépendantes dont on précisera les probabilités de succès respectives.
b) En déduire

.
5. a) Établir la double inégalité

b) Donner un équivalent de

lorsque

(et le justifier).
6. Étudier la différence

et en déduire un équivalent de

lorsque

Troisième partie : la série logarithmique de Fisher

Le but de cette partie est d'établir un résultat ancien sur la loi du nombre d'individus appartenant à une même espèce.

A La fonction

Montrer que la fonction est bien définie sur .
a) Pour tout réel positif , montrer que .
b) En déduire une expression pour lorsque est un entier naturel non nul.
c) Donner un équivalent de lorsque .

Dorénavant, pour tout réel positif

, nous dirons qu'une v.a.r positive suit la loi Gamma

si elle a pour densité de probabilité la fonction

Calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire X de loi .

B Étude de la série logarithmique

Soit

la fonction définie par

Montrer que pour tout [, la série de terme général converge.
Établir que pour tout entier , la dérivée -ième de est donnée par :

Montrer que pour tout et tout entier ,

Pour , calculer la somme .

C Abondance d'une espèce

Dans cette question uniquement, on suppose qu'une espèce compte N individus, et qu'il est possible d'observer chacun de ces individus avec la même probabilité , indépendamment les uns des autres.
a) Donner la loi du nombre X d'individus observés.
b) Soit un réel . Que devient la loi de X lorsque et ?

On se donne deux réels strictement positifs

, et l'on suppose désormais que X suit une loi de Poisson d'espérance

(la vraie densité de population), où pour rendre compte de l'incertitude existant sur elle,

est une v.a.r. indépendante telle que :

où G suit la loi Gamma(

).
9. a) Montrer que pour

entier naturel et

réel positif,

b) En déduire que

a) Calculer .
b) Montrer que la v.a. , conditionnée par l'observation de individus, suit une loi Gamma de paramètre à préciser.
c) Montrer que

Commenter la façon dont le nombre d'individus observés prédit la densité de population.
On ne s'intéresse plus dorénavant qu'aux espèces dont au moins un individu a été observé.
11. a) Montrer que pour tout entier

et tout réel

b) Prouver la convergence suivante

où

est une constante à déterminer.
On appelle

cette loi limite.
c) En déduire que

où

sera exprimé à l'aide de

, et que

La loi

est connue sous le nom de série logarithmique de Fisher.
d) Calculer

, et

. Quel est le signe de cette covariance ? Commenter.
12. Les espèces connues d'un écosystème sont au nombre de

et leurs abondances sont indépendantes et suivent toutes la loi

.
a) Quel est le nombre attendu M d'espèces singletons (c'est-à-dire dont un seul individu a été observé) ? Quel est le nombre attendu N d'individus observés au total? Comment peut-on estimer

si l'on connait M et N ?
b) Étudier

en tant que fonction de

. Interpréter les cas

ENS Mathématiques BCPST 2006

Filière BCPST

MATHÉMATIQUES Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan