ENS Mathématiques BCPST 2002

SESSION 2002

(Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan)

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Ce problème aborde l'étude d'une classe d'objets probabilistes connus sous le nom de "marches aléatoires". Dans tout le problème, N (respectivement ) désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (respectivement, des entiers naturels strictement positifs); Z , l'ensemble des nombres entiers relatifs; R (respectivement ), l'ensemble des nombres réels (respectivement, des réels positifs ou nuls, des réels strictement positifs). On note la base du logarithme néperien ( ), et la fonction exponentielle de est notée indifféremment ou . L'espérance et la variance d'une variable aléatoire réelle seront notées respectivement et var .

Soit . une suite de variables aléatoires réelles definies sur un mēme espace de probabilité ( ), indépendantes, identiquement distribuées (c'est-à-dire, pour tout entier . les variables sont indépendantes et identiquement distribuées). Pour tout entier , on pose:

Sauf mention contraire (questions II. 2 et II.3), on pose . La suite est appelée "marche aléatoire". Dans tout le problème, on suppose , et .

Tournez la page S.V.P.

Pour tout événement de l'espace de probabilité considéré, on note la fonction indicatrice de , c'est-à-dire la variable aléatoire qui vaut 1 si est réalisé, 0 sinon.

Soient et deux nombres réels tels que . On note la variable aléatoire définie par:

Le problème vise à décrire la loi de , dont l'étude connait d'importantes applications en biologie des populations - évaluation du risque d'extinction d'une espèce, planification des stratégies de contrôle des épidémies, etc. La partie II utilise les résultats de la partie I. Les parties III et IV sont indépendantes et peuvent être traitées indépendamment des parties I et II.

I.1. Montrer que la variable aléatoire est finie presque surement.

On suppose dans la suite de cette partie I que est fini fla démonstration de ce résultat fera l'objet de la question III.4.e).
I.2. Montrer les égalités:

I.3. Montrer, pour tout , que les variables aléatoires et sont indépendantes, de même que les variables aléatoires et pour tout entier tel que .
I.4. On admet que l'espérance et la somme infinie qui apparaissent dans l'expression (a) de la question I. 2 peuvent être permutées. Démontrer l'égalité:

(C'est la "première identité de Wald".)
I.5. On suppose . En admettant que l'espérance et la somme infinie qui apparaissent dans l'expression (b) de la question I. 2 peuvent être permutées, montrer l'égalité:

et en déduire:

(C'est la "deuxième identité de Wald".)

On suppose dans cette partie II seulement que et sont des entiers relatifs tels que , et que l'on a ou 0 ou 1 . Plus précisément, on pose:

et

où et sont des réels positifs ou nuls tels que et .
On admettra, comme à la partie I, que est fini.
II.1. Utiliser la première identité de Wald (cf. question I.4) pour calculer ; en déduire les expressions de et , puis celle de . En utilisant la deuxième identité de Wald (cf. question I.5), établir l'égalité:

Soient une partie de Z , et et , deux entiers naturels tels que et . On note la probabilité que la marche aléatoire partant de (ce qui signifie: ) atteigne la valeur à un instant inférieur à l'instant auquel elle atteint la partie pour la première fois.
II.2. On suppose dans cette question II. 2 seulement que . Soit un entier relatif tel que . Montrer l'égalité:

II.3. On note l'espérance de la variable aléatoire égale au nombre de passages par la valeur que la marche aléatoire partant de effectue avant d'atteindre pour la première fois. On se propose de montrer l'égalité:

II.3.a. On se place d'abord dans le cas particulier . Montrer que suit une loi géométrique de paramètre . En déduire l'égalité annoncée.
II.3.b. Dans le cas , montrer l'égalité:

et conclure.

Cette partie III vise à établir une généralisation des identités de Wald démontrées dans la partie I. On suppose ici que la fonction génératrice de la variable aléatoire est définie pour tout réel dans un certain intervalle (fini ou infini). Dans les questions III. 1 à III.3, on supposera quelconque dans cet intervalle.

Pour toute variable aléatoire définie sur l'espace de probabilité ( ) et tout événement on pose: .
III.1. Montrer que, quel que soit .
III.2. Soit . Conditionnellement à l'événement , les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
III.3. Démontrer l'égalité:

On pourra écrire: .
III.4. On établit dans cette question un lemme (III.4.e) qui sera utilisé à la question suivante pour établir une généralisation des identités de Wald.
III.4.a. En appliquant l'inégalité de Tchebychev, montrer qu'il existe un entier tel que pour tout , on a:

III.4.b. Montrer que pour tout entier , les variables aléatoires , sont indépendantes.
III.4.c. Montrer que l'on a:

III.4.d. Montrer qu'il existe des constantes réelles et telles que, quel que soit ,

III.4.e. En déduire que, quel que soit , puis que les moments de de tous ordres sont finis.
III.5. En écrivant sous la forme:

(expression que l'on justifiera), montrer que pour tout réel tel que , on a l'égalité:

("identité de Wald généralisée"). Pour cela, on utilisera les résultats des questions précédentes (III.1, III. 3 et III.4.e), et l'on remarquera que la condition implique .

On suppose ici que les variables aléatoires (indépendantes et identiquement distribuées) sont entières, à valeurs dans l'ensemble

où et sont fixés dans . On définit une variable aléatoire en posant:

Etant donnés des entiers positifs distincts, et une fonction réelle quelconque définie sur , on admettra que l'espérance de la variable aléatoire est donnée par:

On pose , où désigne la fonction indicatrice d'un événement de l'espace de probabilité considéré.
IV.1. Donner (sans démonstration) le développement en série entière des fonctions et , en précisant leur rayon de convergence.
IV.2. On suppose la variable aléatoire définie pour . Quelle relation existe-t-il entre et ?
IV.3. On définit les fonctions réelles de deux variables réelles:

et on note la fonction génératrice de .
IV.3.a. Montrer que les fonctions et sont bien définies pour et .
IV.3.b. Démontrer l'égalité:

pout tout .
On admettra que l'on peut écrire et sous la forme et , où et sont des produits de puissances de termes de la forme et , respectivement.
IV.3.c. Montrer l'identité:

pour tout et tout .
IV.4. Pour tout entier , on définit la variable aléatoire égale au premier entier tel que .
IV.4.a. Montrer que si et seulement si, quel que soit l'entier , on a .
IV.4.b. Montrer que pour tout entier si et seulement si les conditions et sont toutes simultanément satisfaites.
IV.5. Pour tout entier et tout réel tel que , on pose et où .
IV.5.a. Montrer, pour tout entier , l'égalité:

IV.5.b. En déduire la relation:

pour tout et tout .
IV.6. A partir des résultats des questions IV.3.c et IV.5.b, établir les identités et pour tout et tout .
IV.7. Démontrer l'égalité:

pour tout et tout . En déduire que pour tous réels tel que et tel que , on a la relation:

IV.8. On note et les fonctions caractéristiques de et de la variable aléatoire , respectivement. Démontrer l'égalité:

IV.9. Montrer que l'on a, pour tout entier :

Examiner le cas particulier où la loi de est gaussienne de moyenne nulle et de variance unité.