Durée : 6 heures

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La qualité de la rédaction sera un élément important d'appréciation des copies. Pour traiter une question, le candidat peut utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes.

Les parties I, II, et III sont indépendantes.

Dans tout le problème, on désigne par des entiers naturels non nuls. On note le corps des nombres complexes et celui des nombres réels. Pour tout sous-corps de , on appelle (respectivement ) l'ensemble des matrices à lignes et colonnes (respectivement des matrices carrées ) à coefficients dans . On identifie au -espace vectoriel des matrices colonnes, ce qui permet de parler de pour et .

On note le sous-ensemble de constitué des matrices inversibles. On rappelle que , muni du produit matriciel, est un groupe (non commutatif si ) dont l'élément neutre est la matrice identité . On note le sous-groupe de formé des matrices de déterminant 1. On identifie au groupe multiplicatif des éléments non nuls de .

Si est un élément de , on note sa matrice conjuguée. On dit qu'une partie de est stable par conjugaison complexe si pour toute matrice de , la matrice conjuguée est également dans . La transposée d'une matrice est notée . On munit de sa topologie usuelle de -espace vectoriel normé de dimension finie.

Soient et deux espaces vectoriels normés (sur ou ) de dimension finie, et (respectivement ) une partie de (respectivement ). On rappelle qu'une application est un homéomorphisme si est une application continue, bijective, dont l'application réciproque est continue.

Sauf mention contraire, les lois de groupe seront notées multiplicativement (le produit de deux éléments et étant noté ou simplement ); on désignera par (ou simplement si cela ne prête pas à confusion) l'élément neutre d'un groupe .

Si est un ensemble et un sous-corps de , on note le -espace vectoriel des applications de dans .

Enfin, on rappelle le résultat suivant, que l'on pourra utiliser sans démonstration :
Soit une famille d'endomorphismes diagonalisables d'un -espace vectoriel de dimension finie, telle que pour tous de . Alors il existe une base de diagonalisation commune à tous les éléments de .

Pour tout groupe , on note Aut l'ensemble des automorphismes de , c'est-à-dire des morphismes de groupe bijectifs de dans lui-même.
I.1. Montrer que Aut est un groupe pour la composition des applications.

Une action d'un groupe sur un groupe est un morphisme de groupes Aut . On attire en particulier l'attention des candidats sur le fait que dans cette définition, on impose que
pour tout élément de , son image soit un automorphisme du groupe , et pas seulement une bijection de sur .

Pour tout et tout , on notera l'élément de (l'action étant sousentendue). On note l'ensemble des éléments de qui vérifient l'égalité pour tout .
I.2. Soit une action d'un groupe sur un groupe . Soient des éléments de et des éléments de .

Comparer et ; même question pour et . Déterminer (où ) et (où ). A-t-on ?
I.3. Soient le groupe multiplicatif et un sous-groupe de qui est stable par conjugaison complexe. Montrer que l'application Aut définie par et (pour tout ) est une action de sur le groupe . On l'appellera action par conjugaison complexe. Déterminer pour cette action.
I.4. On suppose fixées des actions d'un groupe sur des groupes et . On dit alors qu'une application est un -morphisme si est un morphisme de groupes qui satisfait de plus à la condition : pour tous .
a) Soit un -morphisme. Montrer que .
b) On suppose de plus surjectif. A-t-on nécessairement ?

II.1. Soit un sous-groupe commutatif de tel que tout élément de vérifie . Montrer que est fini, et majorer son cardinal en fonction de .
II.2. Soient une partie de et un ouvert de avec , tels que pour tout , on ait . On suppose qu'il existe un homéomorphisme , où est un ouvert de , et on pose . On fait enfin l'hypothèse que l'application

est de classe .
Montrer que l'image de l'application de dans , qui à associe , est un voisinage de dans .
II.3. On dira qu'un sous-groupe de vérifie la condition ( ) s'il existe des parties et de satisfaisant aux hypothèses de II.2., avec en outre partie ouverte de .
a) Montrer que le groupe vérifie la condition (L) (on pourra par exemple utiliser le développement du déterminant par rapport à une colonne).
b) On suppose que est un sous-groupe commutatif de qui vérifie (L). Montrer que l'image de l'application de dans , qui à associe , est un ouvert de . En considérant les ensembles de la forme pour , montrer que est également un fermé de .

III.1. a) Soit . Montrer qu'il existe tel que .
b) Soit tel que . Montrer qu'il existe tel que .

Dans toute la suite de cette partie III, on désigne par et deux sous-corps de avec . On suppose que le -espace vectoriel est de dimension finie et on note l'ensemble des isomorphismes de corps de dans qui satisfont en outre l'égalité pour tout de .
III.2 a) Montrer que si et , alors est constitué de l'identité et de la conjugaison .
b) On revient au cas général et on prend . Montrer qu'il existe un polynôme non nul tel que . Montrer que pour tout , le nombre complexe est également racine de .
c) En déduire que est fini.

On vérifie facilement (et on admettra dans la suite) que est un groupe pour la composition des applications, dont on notera désormais la loi multiplicativement.
III.3. Soient des morphismes de groupes deux à deux distincts du groupe multiplicatif dans lui-même. Montrer que la famille ( ) est libre dans le -espace vectoriel (on pourra procéder par récurrence sur ).
III.4. Soit une application de dans . Pour toute matrice de , on pose pour tout de . Si est une matrice de , on appelle la matrice de . De même, pour tout vecteur de , on pose (c'est un vecteur de ).
a) Soit une forme linéaire sur le -espace vectoriel telle que pour tout . Montrer que est nulle (on pourra considérer pour dans et utiliser III.3.).
b) En déduire que la famille engendre le -espace vectoriel . On en extrait une base .
c) Soit la matrice de dont le -ème vecteur colonne est . Montrer que la matrice est inversible.

Soit une action d'un groupe sur un groupe (voir la partie I). On appelle cocycle une application qui vérifie :

pour tous de . On note l'ensemble des cocycles.
IV.1. On définit une relation par : si et seulement s'il existe tel que pour tout . Montrer que est une relation d'équivalence.

On notera l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation et la classe d'un élément de . On note également 0 la classe du cocycle (dit trivial) qui envoie tout de .
IV.2. On prend et muni de l'action de par conjugaison complexe (définie en I.3.). Montrer que .
IV.3. Soient et deux sous-corps de avec et de dimension finie sur . On prend pour le groupe défini en III.1.

On définit une action de sur le groupe par : pour toute matrice de .
a) Montrer que (On pourra utiliser III.4. c)).
b) Que devient le résultat précédent pour et ?
IV.4. On suppose fixées des actions d'un groupe sur des groupes et . Soit un -morphisme (voir I.4.). A toute application , on associe l'application définie par : pour tout de .
a) Montrer que si , alors .
b) Montrer que si dans , alors dans .

Avec les notations de IV.1., on a donc une unique application qui vérifie : pour tout . On appelle noyau de , et on note ker , l'ensemble des éléments de tels que .
IV.5. On suppose jusqu'à la fin de cette partie que et sont deux groupes munis chacun d'une action de , et on fixe un -morphisme surjectif . On note le noyau de , qui est un sous-groupe de , et l'injection canonique.
a) Vérifier que pour tout et tout , on a . On a donc une action de sur le groupe par restriction de l'action de sur , qui fait de un -morphisme.
b) Montrer que l'image de est le noyau de .
c) On suppose de plus que . Montrer que le noyau de est réduit à .

V.1. Soit un sous-groupe commutatif de , stable par conjugaison complexe, muni de l'action de définie en I.3. On fait également l'hypothèse que est connexe par arcs et vérifie la condition ( L ) définie en II.3.
a) Montrer que le -morphisme , qui à toute matrice de associe , est surjectif.
b) Montrer que l'application est constante égale à 0 (on pourra raisonner directement sur les cocycles).
c) En déduire que est fini.
V.2. Soit le sous-groupe de constitué des matrices de qui vérifient en outre . On munit de l'action de par conjugaison complexe.
a) Montrer que est commutatif. Vérifie-t-il la condition (L) ?
b) Déterminer le sous-groupe de constitué des éléments tels que . Calculer le cardinal de .
c) Montrer que l'application induite par l'injection canonique n'est pas constante égale à 0 . En déduire le cardinal de .
V.3. On prend pour et pour le groupe additif , et pour le groupe symétrique . On munit (respectivement ) de l'action de définie par pour tout et tout de (respectivement de ). On note le cycle de .
a) Soit l'application qui associe à la classe de l'entier la permutation . Montrer que est un -morphisme et que le noyau de est réduit à .
b) Montrer que n'est pas injective.