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ENS Mathématiques Paris Lyon MP 2003

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Algèbre généraleFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)GéométrieIntégrales généraliséesPolynômes et fractions
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X-ENS
Année
2003
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2003MP MathsMaths 2003
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SESSION 2003

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon
Durée : 6 heures
L'usage de toute calculatrice est interdit.
Aucun document n'est autorisé.
Les symboles et désignent respectivement le corps des nombres complexes, le corps des nombres réels, le corps des nombres rationnels, l'anneau des entiers relatifs et l'ensemble des entiers naturels.
Dans tout ce problème, D est un entier impair sans facteur carré. Si , où est le cardinal de S , est l'ensemble des nombres premiers divisant D , alors et D est le produit des , pour .
L'objet du problème est l'étude de l'ensemble des solutions de l'équation , avec . Plus précisément, il s'agit de démontrer que l'on peut munir d'une structure de groupe commutatif de type fini (cas particulier du théorème de Mordell-Weil). On note C l'ensemble des solutions dans de l'équation , avec ; on a donc .
La partie I donne un critère permettant de montrer qu'un groupe commutatif est de type fini. La partie II munit d'une structure de groupe commutatif. La partie III donne un certain nombre de formules relatives à cette loi de groupe, et la partie IV est consacrée à la démonstration du théorème de Mordell-Weil. Ces 4 parties reposent sur des techniques différentes et peuvent se traiter de manière indépendante (pour la partie III, on n'a besoin que de la définition de la loi d'addition donnée dans la question 6.b de la partie II, et la partie IV utilise de manière intensive les formules de la partie III mais pas leur démonstration).
Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. En particulier, il est possible (et même recommandé) d'utiliser des résultats démontrés dans des questions antérieures, mais il faut indiquer la question où le résultat apparaît.

I

Dans cette partie, est un groupe commutatif pour une loi notée + . L'élément neutre de est noté 0 et l'opposé d'un élément de est noté . Si et , on note l'élément de évident ( et si ).
On dit que est de type fini s'il existe et tels que tout élément de puisse s'écrire sous la forme , avec , si . On dit que est de type fini modulo 2 s'il existe un sous-ensemble fini Z de tel que tout élément de puisse s'écrire sous la forme , avec et .
On appelle hauteur sur une application telle qu'il existe tel que, quels que soient , on ait
On dit que est admissible si, quel que soit , l'ensemble des éléments de vérifiant est un ensemble fini.
  1. On note l'ensemble des tels qu'il existe tel que .
    1.a. Montrer que est un sous-groupe de .
    1.b. Le groupe est-il nécessairement fini?
  2. Soit une hauteur sur .
    2.a. Montrer que, si , la suite de terme général tend vers une limite quand tend vers , et qu'il existe tel que , quel que soit .
    2.b. Montrer que vérifie l'identité:
2.c. Calculer en fonction de , si .
3. On suppose que l'on peut munir d'une hauteur admissible .
3.a. Montrer que est une hauteur admissible sur .
3.b. Montrer que si et seulement si .
3.c. Montrer que est fini.
3.d. Montrer que, si , alors .
3.e. Montrer que si est de type fini modulo 2 , alors il est de type fini.

II

On rappelle que C est l'ensemble des solutions de l'équation avec . (Il n'est probablement pas inutile de faire un dessin grossier de C .) C , la tangente à C en est la droite d'équation .
Si , notons ( ) le couple défini par , et et les polynômes définis par
On note la droite d'équation . On pourra utiliser sans démonstration les équivalences (I1) (I2) (I3), avec
(I1)
(I2) et
(I3) et
et, si , les équivalences (T1) (T2) (T3), avec
est tangente à C en
(T2) a un zéro double en
(T3) a un zéro double en .
  1. Soit le cardinal de l'intersection de C avec la droite d'équation .
    1.a. Montrer que .
    1.b. Montrer que est un ouvert de .
    1.c. Montrer que, si et si n'est pas tangente à C , alors .
    1.d. Montrer que, si , il n'existe qu'un nombre fini de points P de C tels que la tangente à C en P passe par ( ).
  2. Si , on pose et .
    2.a. Montrer que, si , il existe un unique point de C vérifiant , et que, si on pose , alors C est l'ensemble des couples ( ), avec .
    2.b. Montrer que quel que soit , que F est paire, que l'on a si et seulement si , et que F est de classe sur .
    2.c. Montrer que tend vers 1 quand tend vers ou vers .
    2.d. Soient et . Notons la droite joignant à et l'élément de défini par
Montrer que l'on a les équivalences suivantes:
(i) est le troisième point d'intersection de C et ;
(ii) est la tangente à C en ;
(iii) est la tangente à C en .
2.e. Calculer la limite de quand tend vers . Que devient la droite ?
3. On déduit des questions 2.b et 2.c la convergence absolue de l'intégrale . On note la valeur de l'intégrale , et on définit une fonction par la formule
3.a. Montrer que L induit une bijection de sur .
3.b. Calculer si .
4. Soient , des nombres complexes distincts deux à deux.
4.a. Montrer que, si est de degré , alors
4.b. Montrer que, si , alors si (avec la convention ) et calculer .
5.
5.a. Soit I un intervalle ouvert de , et soient et des fonctions de classe de I dans telles que, quel que soit , les points , soient distincts deux à deux et alignés. Montrer que la fonction
est constante sur I. (On introduira l'équation de la droite contenant les et on commencera par vérifier que et sont de classe sur I.)
5.b. Montrer que, si est la quantité introduite à la question 2.d, alors quels que soient et .
5.c. Montrer que, si sont trois éléments de , distincts deux à deux, tels que et sont alignés, alors .
5.d. Montrer que, si , et si est sur la tangente à C en , alors .
5.e. Montrer que, si sont trois éléments de , distincts deux à deux, tels que , alors et sont alignés.
6. Soit le groupe des nombres complexes de module 1 et soit l'application définie par et si .
6.a. Montrer qu'il existe, sur , une unique loi de groupe commutatif + telle que l'on ait . Montrer de plus, que, si , alors si et si .
6.b. Montrer que est l'élément neutre pour + et que, si et sont trois éléments distincts de C , alors si et seulement si et sont alignés.
6.c. Montrer que, si , alors l'opposé -P de P pour la loi + est le symétrique de P par rapport à l'axe des .
6.d. Montrer que si , l'équation a toujours des solutions; combien en a-t-elle?
6.e. Montrer que, si , et si tend vers et tend vers , alors tend vers . Que se passe-t-il si ?

III

Dans les questions 1.b, 2.b et 4, les formules que l'on cherche à établir vont par groupe; dans chaque groupe, on démontrera la formule qui n'est pas entre crochets, et on admettra les autres.
  1. Soient et deux éléments de C , avec , et soit défini par .
    1.a. Montrer que sont les racines du polynôme
En déduire que l'on a
(On commencera par supposer que et sont distincts.)
1.b. Établir les formules (la formule entre crochets sera admise sans démonstration):
  1. Soit , avec et .
    2.a. Établir les formules:
2.b. Montrer que l'on a . On admettra que, de même,
  1. Montrer que est un sous-groupe de .
  2. Soient et deux éléments de , avec , et soient et . Établir les formules (la formule entre crochets sera admise sans démonstration):

IV

IV. A

  1. Si est un nombre premier et , on définit l'entier comme le plus grand entier tel que divise (par exemple et donc et si ). On a , ce qui permet d'étendre à grâce à la formule . Si , alors sauf pour un nombre fini de nombres premiers et, si est positif, alors . Si , on note son image dans .
    1.a. Montrer que est un carré si et seulement si et quel que soit le nombre premier .
    1.b. Montrer que, si vérifient , alors .
  2. Soit , et soit le plus petit carré (d'entier) tel que .
    2.a. Montrer que, si , alors et .
    2.b. Montrer que est un carré.
    2.c. Montrer que, si , alors et sont des nombres pairs.
  3. Soit l'application qui envoie sur et sur
3.a. Montrer que est un morphisme de groupes de dans .
3.b. Montrer que, si est tel que et sont des carrés dans , et si est une solution de l'équation , alors .
3.c. Caractériser le noyau de .
3.d. Montrer que est de type fini modulo 2 .

IV. B

IV. B

On définit une fonction en envoyant sur 0 et sur , si est le plus petit carré rendant entier.
  1. Montrer que, quel que soit , on a
  1. Soient et deux éléments de , avec , et soient et . Soit (resp. ) le plus petit carré rendant (resp. ) entier.
    2.a. Montrer que, si divise et , alors divise aussi et ainsi que et .
    2.b. Montrer que, si , alors ne divise pas ou (on commencera par montrer que ne divise ni le p.g.c.d. de et , ni celui de et ).
    2.c. Montrer que, si , alors ne divise pas ou .
    2.d. Montrer que le p.g.c.d. de et divise .
    2.e. Montrer que, si et , où et sont des entiers, si (resp. ) est le plus petit carré rendant (resp. ) entier, et si p.g.c.d. , alors est entier et .
    2.f. Montrer que, quels que soient avec , on a
  1. On suppose dorénavant que le groupe est infini.
    3.a. Montrer que les seules solutions de l'équation sont et .
    3.b. Montrer que quel que soit .
    3.c. Montrer qu'il existe tel que, quels que soient , on ait
3.d. Montrer que est une hauteur sur .
3.e. Montrer que est une hauteur admissible sur .
3.f. Montrer que est un groupe fini et que est de type fini.
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