ENS Mathématiques Paris Lyon MP 2001

SESSION 2001

(Épreuve commune aux ENS: Ulm et Lyon)

Durée : 6 heures

La calculatrice n'est pas autorisée

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La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. On invite en particulier le candidat à produire des raisonnements précis et concis. Le candidat peut utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes. Chaque partie est d'ailleurs largement indépendante des précédentes, une fois admis les résultats qui y sont démontrés.
Plus précisément, la partie 1 n'est utilisée que dans la partie 6. Les parties 4 et 5 sont mutuellement indépendante: ainsi qu'essentiellement du reste du problème : seules les formules équivalentes obtenues dans les question 4.5 et sont utilisées dans la partie 6 .

Soit un nombre complexe. On note le -espace vectoriel engendré par : c'est une -algèbre On note le sous-groupe additif de engendré par .
Un sous-corps de qui est de dimension finie (vu comme -espace vectoriel) est appelé un corps de nombres.
Soient deux entiers. Si est une racine -ième de l'unité, le complexe ne dépend que de la classe de dans et sera noté .
Dans le cas particulier où , on notera la somme

Soit un nombre premier impair et . On dit que est un carré s'il existe tel que
1.1. Montrer l'égalité

[Indication : regrouper deux à deux dans le produit les termes ].
1.2. En déduire les égalités

2.1. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(i) Il existe un polynôme unitaire à coefficients rationnels annulant ;
(ii) La Q-algèbre Q[S] est un corps de nombres.

Soit un Q-espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme de . Si sont des éléments d , on note l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers des .
2.2. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes:
(i) Il existe un polynôme unitaire à coefficients entiers annulant ;
(ii) Il existe un entier et des vecteurs engendrant tels que

[Indication : pour , on pourra introduire une matrice carrée dont les coefficients vérifient

et considérer son polynôme caractéristique].
Un tel endomorphisme est dit entier.
2.3. Montrer que le composé et la somme de deux endomorphismes entiers de qui commutent ( tels que ) sont entiers. [Indication : on pourra montrer qu'on peut choisir un entier , des vecteurs comme dans (ii) de (2.2) qui conviennent à la fois pour et ]. Montrer que ce n'est plus le cas en général si on ne suppose pas que les endomorphismes commutent.
Soit un corps de nombre, muni de sa structure de Q -espace vectoriel de dimension finie. On dira que est entier si l'endomorphisme de multiplication

est entier. On note l'ensemble des éléments de qui sont entiers, qui est donc un sous-anneau de d'après la question 2.3.
2.4. Montrer l'égalité .

Soit qui n'est pas le carré d'un rationnel. Si est négatif, on notera le complexe . Un corps de la forme (avec non carré) est dit corps quadratique. On remarque que est une base de . On note l'isomorphisme de corps

3.1. Montrer que les seuls isomorphismes de corps de dans lui-même sont l'identité et .
3.2. Soit . Montrer que si et seulement si .
3.3. Montrer qu'il existe un unique sans facteur carré tel que .
3.4. Soit un sous-corps de de dimension 2 sur . Montrer que est un corps quadratique.

Soit un entier sans facteur carré et .
3.5. Montrer que si et seulement si et

Soit défini par

3.6. Montrer que l'application

est un isomorphisme de groupes abéliens.

On se donne un entier . Pour , on note la fonction

et .

4.1. Montrer que la suite de terme général

converge vers .
4.2. Montrer que la fonction de dans qui à un réel associe

admet une limite en .
4.4. Comparer et .
4.5. Montrer la formule

4.6. Soit un corps quadratique. Montrer qu'il existe une racine de l'unité telle que .

Soit un entier impair et le complexe .
Soit le -espace vectoriel de dimension des fonctions de dans . Soit l'endomorphisme de qui à la fonction associe définie par

5.1. Soit . Montrer l'égalité

5.2. Diagonaliser .

On remarque que

est la trace de .
5.3. Montrer que le module est .

On cherche à calculer .
Soient les multiplicités respectives des valeurs propres de .
5.4. Montrer les égalités et ainsi que .
5.5. En calculant , calculer en fonction de .
5.6. Montrer

(formule compatible avec la question 4.5).

On considère deux nombres premiers impairs distincts . On note le corps de nombres et le corps quadratique , qui est contenu dans . On note l'entier qui vaut 1 si la classe modulo est un carré et -1 sinon. On se propose de montrer par deux méthodes différentes la formule

Première méthode
6.1. Montrer l'égalité .
6.2. Montrer la relation .
6.3. Soit un entier relatif. Montrer que si est un élément de , alors divise [Indication : utiliser la question 3.6].
6.4. Montrer l'égalité (1).
Seconde méthode
6.5. Montrer qu'il existe une unique bijection

telle que

pour tout .
6.6. Montrer la formule

6.7. En déduire l'égalité (1) [Utiliser les formules obtenues aux questions 4.5 ou 5.6].
6.8. On pose dans cette question . En étudiant dans , montrer l'égalité

[Indication : on s'inspirera de la question 6.2].
Une application
On admet le résultat difficile suivant :
Etant donnés des entiers non nuls premiers entre eux, l'ensemble contient une infinité de nombres premiers.
6.9. Soit un entier relatif. Soit un ensemble fini de nombres premiers. On suppose que pour tout nombre premier , la classe de modulo est un carré dans . Montrer que est le carré d'un entier.