ENS Mathématiques Lyon Cachan MP 2000

Les parties II, III et IV sont des applications indépendantes de la partie I. Dans la partie préliminaire ainsi que dans la première partie, désigne un corps qui peut être quelconque. Dans les trois parties d'applications, sera égal respectivement à , à , et enfin à . L'anneau des polynômes à coefficients dans sera le plus souvent noté - cependant, il sera noté lorsque sera lui même un corps de fractions rationnelles.
D'autre part, soient deux entiers naturels non-nuls. Si et sont deux éléments de de degrés respectifs et , on appelle résultant de et (noté , ou bien si aucune confusion n'est possible) le déterminant de la matrice carrée à coefficients dans de taille ( ) suivante, dite matrice résultante:
où chaque apparait exactement fois, et chaque apparait n fois. Noter que les premiers coefficients diagonaux sont égaux à , et que les derniers sont égaux à .
Enfin, si est un sous-anneau de , on notera le sous-anneau de l'anneau des polynômes , constitué des polynômes dont tous les coefficients sont dans .

Soit un sous-anneau de .
0-1- Vérifier que est bien un sous anneau de .
0-2- Montrer que si sont deux éléments de , alors reste un élément de .
0-3- Soit le sous-anneau de l'anneau des polynômes sur le corps défini dans l'introduction pour et . Montrer que tout élément de s'écrit de façon unique sous la forme avec nul sauf pour un nombre fini de couples . En déduire que si est un élément de s'écrivant comme ci-dessus, alors le nombre est un entier naturel bien défini, appelé degré total de .

Soient et deux polynômes de de degrés et .
I-1- Montrer que les polynômes et ne sont pas premiers entre eux dans si, et seulement si, il existe deux polynômes et non-nuls de , de degrés et , tels que .
I-2- On note le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à .
I-2-a- Quelle est la dimension sur de ?
I-2-b- Soit l'application

Montrer que est une application linéaire, et que sa matrice dans des bases ad-hoc que l'on précisera des espaces vectoriels source et but est la transposée de la matrice résultante de l'énoncé.
I-3- Montrer que et sont premiers entre eux dans si, et seulement si, .
I-4- Montrer que pour tout non nul, on a

On considère la courbe plane de paramétrée par :

Quelle est l'équation cartésienne de la courbe dans le plan?

On note l'ensemble des nombres complexes pour lesquels il existe un polynôme non-nul (l'anneau des polynômes à coefficients dans ), qui soit unitaire (c'est-à-dire par définition de coefficient dominant égal à 1), et vérifiant .
III-1- Soient et des éléments de , annulant les polynômes et de degrés respectifs et . Montrer que le polynme (en ) est un élément de , unitaire de degré annulant la somme . III-1- Montrer que est un sous-anneau de .

On se donne deux polynômes et non nuls de , et on se propose d'étudier le nombre de solutions ( ) dans du système d'équations

On considère les deux conditions suivantes sur et :
et sont premiers entre eux dans l'anneau de polynômes à coefficients dans le corps .
( ) En notant les dcompositions de et sous la forme et avec dans , il n'y a aucun facteur non-constant commun aux polynômes

dans l'anneau des polynômes .
Enfin, on note et les degrés totaux de et de définis en 0-3-.
IV-1- Exemples. Parmi les trois couples de polynômes suivants, lesquels vérifient ? Lesquels vérifient ? Quels sont leurs degrés totaux?

IV-2-a- On suppose que et vérifient ( ). Montrer qu'il existe trois polynômes non nuls , et , tels que .

IV-2-b- En déduire que le système étudié n'a qu'un nombre fini de solutions si, et seulement si, et vérifient ( ) et .
IV-3- Montrer que, par un changement de variables linéaire en ( ), on peut se ramener au cas où et . IV-4- On pose . La fonction polynômiale de dans associée à sera notée . On suppose que et . Montrer que admet une limite dans lorsque .
IV-5- On suppose que et vérifient et . Montrer que le nombre de solutions du système est inférieur ou égal au produit .
IV-6- Le système d'équations proposé a-t-il toujours solutions lorsque et satisfont ( ) et ( )?