J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2002

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVN
Logo ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2002
Filière
MP/PC
Matière
Maths
X-ENS MP/PCX-ENS 2002MP/PC MathsMaths 2002
2025_08_29_077cb1411e4db3437120g
SESSION 2002

Filière MP (groupes M/MP/MPI)

(Epreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan)

Filières MP et PC (groupe I)

(Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon)

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures
Dans ce problème, tous les espaces vectoriels sont de dimension finie. Si , la quantité désignera toujours le produit scalaire usuel . Si . ééé dual est munit canoniquement d'une norme (dite duale) définie par . L'espace dual muni de cette norme sera appelé le dual normé de .
Un evn est dit isométrique à un evn si il existe un isomorphisme linéaire préservant les normes, c'est à dire tel que pour tout . Une telle est appellée isométrie de dans .
Si ou 2 , on note l'espace , munit de la norme . De même, on note l'espace munit dẹ la norme .

Premième partie : introduction.

Si , on définit par
C'est donc un élément du dual de .
1-a) Si , montrer que l'on peut trouver avec , et .
b) Si , montrer que l'on peut trouver avec , et .
c) Si , montrer que l'on peut trouver avec , et .
2) Montrer que l'application fournit une isométrie entre et son dual normé, une isométrie de sur le dual normé de , et enfin une isométrie de sur le dual normé de .
3-a) Si , montrer que
b) En déduire que si et vérifient , alors .
c) En déduire que pour n'est isométrique ni à , ni à .
4) Si , On rappelle que est dit dense dans si est inclus dans l'adhérence de , ou encore si tout élément de est limite d'une suite d'éléments de .
a) Montrer que si et sont deux ouverts denses de , alors est encore dense dans .
b) Soit un sous-espace vectoriel strict de (i.e. avec ). Montrer que le complémentaire de dans est un ouvert dense de . [Indication : utiliser une base convenable.]
c) Si sont des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel , et si , montrer que l'un au moins des est égal à .
5) Soit un sous-espace de dimension de . On suppose que .
a) On suppose que possède (au moins) un élément tel que les soient deux-à-deux distincts. Montrer qu'il existe , avec
[Indication : prendre , et choisir assez proche de .]
b) Si ne possède pas d'élément comme ci-dessus, montrer qu'alors est contenu dans un sous-espace de , isométrique à .
c) Montrer qu'il existe nécessairement , avec
d) En déduire que , lorque , n'est isométrique à aucun sous-espace de avec fini. Qu'en est-il pour ?
6) On note l'espace des suites avec et . L'espace est clairement un espace vectoriel pour les addition et multiplication scalaire standards, et normé pour la norme .
a) Montrer que l'on peut trouver une suite avec et pour tout , telle que soit dense dans la sphère unité euclidienne de .
b) En déduire qu'il existe une application linéaire isométrique sur son image, c'est-à-dire telle que pour tout .

Deuxième partie : distance entre evn.

Si et sont deux evn de même dimension, on pose
l'infimum étant pris sur tous les isomorphismes de dans . On pose aussi
  1. Si et sont trois evn de même dimension, montrer que , et que .
  2. Si et sont de même dimension, montrer que lorsque les espaces duaux sont munis de leur norme duale.
  3. Si et sont de même dimension, montrer qu'il existe un isomorphisme : , tel que . [Indication : on cherchera parmi les isomorphismes de norme 1.]
  4. Montrer que , avec égalité si, et seulement si, et sont isométriques.
Troisième partie : calcul de .
  1. En considérant l'identité de dans lui même, montrer que .
2-a) Si , montrer que
[Indication : faire une récurrence pour .]
Dans la suite de cette question 2), on suppose qu'il existe vecteurs de , et des réels strictement positifs et , tels que pour tout , on ait
b) Montrer que est une base de . En conclure qu'il existe tels que soit égal à 1 si , et à 0 sinon.
c) Montrer que pour tout , on a
d) Montrer que . [Indication : on appliquera 2-a pour un choix approprié des .]
3) Montrer que .
4) Calculer .
Quatrième partie : espaces .

A) Inégalités de convexité.

  1. Soit et .
    a) Si , montrer que
b) Si , montrer que
  1. On se donne et on définit par la relation (de sorte que et ).
    a) Soit . Si , montrer que
b) Soit et . Montrer que

B) Espaces .

Pour et , on pose . On retrouve bien ainsi les normes et pour et 2 . On rappelle que .
  1. On veut montrer l'inégalité dite de Hölder : pour tout ,
a) Traiter directement le cas .
b) Si , montrer que l'on peut supposer et que les et les sont tous positifs ou nuls. Déduire de A-2-b que .
Tournez la page S.V.P.
2) On veut montrer l'inégalité de Minkowski: .
a) Montrer que l'on peut se ramener au cas où tous les et les sont positifs.
b) Si est définit par , que vaut ?
c) Montrer que .
d) Montrer l'inégalité de Minkowski.
e) Montrer que est une norme sur . On note l'evn ( ).
3) On considère à nouveau l'application introduite dans l'introduction, qui à associe la forme linéaire . Montrer que c'est une isométrie de sur le dual de (ce dernier étant munit de la norme duale de décrite au début du problème).
C) Calcul de .
  1. Montrer que pour tout .
  2. Montrer que pour tout .
3-a) Montrer que si , alors
pour tout .
b) En déduire que sous l'hypothèse ci-dessus, on a
  1. Si , montrer que
  1. En déduire que pour , on a
  1. Pour quelles valeurs de et de l'espace est-il euclidien '?
  2. Montrer que et sont isométriques. la formule donnée en est-elle valable pour tout et tout ?
ENS Mathématiques Lyon Cachan MP PC 2002 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa