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ENS Mathématiques D MP 2022

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Algèbre généraleGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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X-ENS
Année
2022
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2022MP MathsMaths 2022
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2022

J EUDI 28 AVRIL 2022
08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATI QUES D (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend 13 pages, numérotées de 1 à 13.
Début de l'épreuve

Points rationnels de la quadrique

Le problème comporte 8 parties. La partie 1 n'est utilisée que dans la partie 8. Les parties 2 à 6 sont interdépendantes. La partie 7 est indépendante des précédentes. La partie 8 utilise les résultats de toutes les autres parties.

Notations et définitions

L'objet de ce problème est l'étude des solutions entières et rationnelles de l'équation
  • On note l'espace des vecteurs colonnes , canoniquement isomorphe à . Étant donné un vecteur de , on note et ses coordonnées dans la base canonique, de sorte que
  • On munit de la forme bilinéaire symétrique
Notons que n'est pas définie positive.
L'équation (1) se réécrit : .
  • On note l'ensemble
  • On note le vecteur . On remarquera que et que pour tout , on a
  • On note l'ensemble des vecteurs de à coordonnées entières. Un vecteur entier est appelé primitif si ses coordonnées n'ont pas de diviseur commun autre que 1 et -1 .
  • On note l'ensemble des vecteurs de à coordonnées rationnelles. Étant donné un vecteur , on appelle hauteur de , et on note , le plus petit dénominateur commun à et , c'est-à-dire le plus petit entier tel que .
  • Pour tout entier , on définit
et pour tout , on pose
  • Le cardinal d'un ensemble fini est noté .
  • Étant donné un nombre réel , on note le plus grand entier inférieur ou égal à et le plus petit entier supérieur ou égal à .

Partie 1 : Un critère d'équidistribution

Les résultats de cette partie ne seront utilisés que dans la partie 8.
1.1. Soit un réel de l'intervalle ouvert . Montrer qu'il existe tel que le polynôme
vérifie les deux propriétés suivantes :
  1. ,
  2. est croissant sur .
On fixe un tel choix de et on note le polynôme . Soit la suite de polynômes définie par récurrence par
  • ,
  • .
    1.2. Montrer que converge uniformément vers 1 sur tout compact de et uniformément vers 0 sur tout compact de .
On note l'espace vectoriel des fonctions continues de dans et le sous-espace vectoriel complexe de engendré par les fonctions
1.3. Montrer que est une sous-algèbre de pour la loi de multiplication usuelle des fonctions.
1.4. Soit tel que . Montrer que la suite de fonctions définie par
converge uniformément vers 1 sur tout compact de [ et converge uniformément vers 0 sur tout compact de .
On note l'espace des fonctions continues de dans et le sous-espace engendré par les fonctions
1.5. Soient tels que et . Montrer que pour tout , il existe vérifiant les propriétés suivantes :
  1. pour tout ,
  2. pour ,
  3. pour .
Soit une suite de parties finies de telle que, pour tout ,
1.6. Montrer que pour tout ,
1.7. Montrer que pour tous tels que et ,
On dit d'une telle suite qu'elle 'équidistribue dans .

Partie 2 : Pseudo-orthogonalité

Rappelons que la forme bilinéaire définie en préambule n'est pas définie positive. Étant donné un vecteur , on appelle pseudo-orthogonal de et on note l'ensemble des vecteurs tels que .
2.1. Soit un vecteur non-nul de . Montrer que est un sous-espace vectoriel de de codimension 1 , et que est un supplémentaire de la droite engendrée par si et seulement si .
2.2. Soient et deux vecteurs de . Montrer que
avec égalité si et seulement si .
2.3. En déduire que si , alors la restriction de à est un produit scalaire.

Partie 3 : Symétries réelles

On identifie avec les endomorphismes linéaires de . Soit l'ensemble des endomorphismes tels que
pour tous .
3.1. Montrer que est un groupe pour la composition des applications linéaires.
3.2. Montrer que, pour tout , on a ou .
On notera le sous-groupe de formé des éléments tels que . Pour tout tel que , on définit l'application linéaire
3.3. Montrer que , et déterminer les valeurs propres et espaces propres de .
3.4. Montrer que .
3.5. Montrer que pour tous , il existe tel que et .

Partie 4 : Géométrie de

On note arcch : la réciproque du cosinus hyperbolique, c'est-à-dire l'unique fonction telle que
pour tout . La fonction arcch est dérivable sur et on a
4.1. Soit . Montrer que l'ensemble des vecteurs tangents à au point est un sous-espace vectoriel de et déterminer ce sous-espace. En déduire que la restriction de à est un produit scalaire.
Soit une courbe paramétrée continue et par morceaux (vue comme fonction à valeurs dans ). On définit la longueur hyperbolique de par
4.2. Montrer que si est un difféomorphisme, alors .
4.3. Posons et . Montrer que
4.4. En déduire que
Soient et deux points de . On définit la distance hyperbolique entre et par
où l'infimum est pris sur l'ensemble des chemins continus et par morceaux tels que et .
4.5. Montrer que est une distance sur , c'est-à-dire que
  • ,
  • et

  • pour tous .
    4.6. Montrer que pour tout .
Pour tout , on définit
4.7. Montrer que est à valeurs dans et que est surjective.
4.8. Calculer, pour tout , la longueur hyperbolique du chemin
4.9. Montrer que pour tous , on a

Partie 5 : Symétries entières

Rappelons que désigne le sous-groupe des endomorphismes de préservant et (cf Question 3.2). On considère maintenant le sous-groupe de formé des éléments tels que .
5.1. Montrer que pour tout et tout , l'ensemble
est fini.
On considère les trois vecteurs
5.2. Vérifier que et appartiennent à et calculer les matrices correspondantes.
On note l'ensemble des vecteurs tels que pour tout .
5.3. Montrer que est compact et contient .
Soit le sous-groupe de engendré par et . Soit .
5.4. Montrer qu'il existe tel que
5.5. Montrer que si , alors .
5.6. Montrer que pour tout , il existe tel que .

Partie 6 : Points rationnels de hauteur bornée

Dans cette section, on fixe un entier .
6.1. Montrer que l'ensemble défini en préambule est invariant par .
Pour tout , on note le sous-ensemble de formé des vecteurs tels que .
6.2. Montrer que est fini.
Le but de cette partie est d'estimer la croissance du cardinal de lorsque tend vers .
6.3. Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout ,
Pour tout , on pose
Rappelons que est un ensemble fini d'après la question 5.1. Enfin, posons .
6.4. Montrer que, pour tout ,
Soit l'application définie à la question 4.6.
6.5. Pour tout montrer que
et que la convergence est uniforme sur tout compact de .
Pour tout , on définit
6.6. Montrer qu'il existe vérifiant les deux propriétés suivantes :
  1. pour tout , il existe tel que ,
  2. pour tout , il existe tel que .
Fixons un tel .
6.7. Montrer qu'il existe une constante vérifiant les deux propriétés suivantes:
  1. pour tout ,
  1. pour tout ,
6.8. Montrer l'existence de constantes et telles que, pour tout ,
6.9. En déduire l'existence de constantes et telles que, pour tout et tout ,

Partie 7 : L'équation

Cette partie est indépendante des précédentes.

Soit un entier non nul. On rappelle que, si , on a un morphisme injectif de groupes abéliens
et un morphisme surjectif d'anneaux
On note l'ensemble des paires qui satisfont
On dira qu'une paire est primitive s'il n'existe pas de diviseur de et de paire telle que . On notera le sousensemble des paires primitives. On fera attention au fait que la paire n'est primitive pour aucun puisqu'elle s'écrit ( ) avec ( 0,0 .
Rappelons que l'application définit un morphisme du groupe vers le groupe des nombres complexes de module 1 . Étant donnés deux entiers relatifs et , on définit
et
En particulier, on a et .
7.1. Soit un entier. Montrer que la somme
vaut si et 0 sinon.
7.2. Soit un entier premier avec . Montrer que l'application
est une bijection de dans .
Soient et deux entiers premiers entre eux et et deux entiers tels que .
7.3. Montrer que l'application
est une bijection de dans .
7.4. Montrer que pour tous ,
Soit un nombre premier et un entier.
7.5. Montrer que
7.6. Montrer qu'il existe tel que si et seulement si ou .

On suppose que est congru à 1 modulo 4 .

7.7. Montrer que si et seulement si
où est une solution de .
7.8. Soit . Montrer qu'il existe tel que .
On fixe un tel .
7.9. Soit tel que ne divise pas . Montrer que si et seulement si
7.10. Soit et le plus grand entier tel que divise . Montrer que si , alors si et seulement si
et que si , alors si et seulement si divise .
7.11. Montrer que pour tout , on a
Soit .
7.12. Soit . Montrer que dès que ne divise pas . En déduire que si , alors dès que ne divise pas .
7.13. Montrer que si ne divise pas , alors
On admettra dans la suite que les résultats des questions et 7.13 sont valables aussi pour , et que les résultats des questions 7.12 et 7.13 sont valables aussi pour .
Pour tout entier , on note l'ensemble des nombres premiers divisant .
7.14. Montrer l'inégalité
En déduire que
7.15. Soit un entier impair. Montrer que
En déduire que, pour tout , on a
7.16. Soit . Montrer l'existence d'une constante (dépendant de ) telle que pour tout ,
En déduire que, pour tout , on a

Partie 8 : Comportement asymptotique de

Cette partie reprend les définitions, notations et résultats des parties précédentes. Le but est d'estimer le nombre de points de de hauteur inférieure à contenus dans une boule hyperbolique donnée lorsque tend vers .
On note le disque ouvert de centre ( 0,0 ) de rayon dans le plan muni de la norme euclidienne standard :
Considérons l'application définie par
8.1. Montrer que est un homéomorphisme de dans et déterminer l'homéomorphisme réciproque.
8.2. Montrer que induit une bijection de dans .
8.3. Montrer que l'image réciproque de par est l'ensemble des points qui s'écrivent
avec et vérifiant les trois conditions suivantes :
  1. divise ,
  2. est pair,
  3. .
On note l'ensemble des paires vérifiant
  1. divise ,
  2. est pair.
On note également le sous-ensemble de formé des couples ( ) qui n'appartiennent pas à où est un diviseur de différent de . Enfin, on note
8.4. Montrer que les ensembles sont deux à deux disjoints.
8.5. Supposons que 2 divise et que 3 ne divise pas . Montrer que pour tout , on a
où est la fonction définie à la question 1.4 et est définie au début de la partie 7 .

On admettra les formules similaires suivantes :

  • si 6 divise , alors
  • si ni 2 ni 3 ne divisent , alors
  • si 2 ne divise pas mais 3 divise , alors
Pour tout , on pose .
8.6. Montrer que
pour tout .
8.7. En déduire que la suite s'équidistribue dans (au sens défini à la fin de la partie 1.)
Fixons . Soit . On note la boule hyperbolique ouverte de centre de rayon , c'est-à-dire
8.8. Montrer que l'image réciproque de par est la boule ouverte euclidienne de centre
et de rayon
8.9. Montrer qu'il existe deux constantes (dépendant de ) telles que, pour tout tel que , il existe tel que pour tout ,
8.10. Soit tel que et . Montrer qu'il existe tel que, pour tout , on a
et
8.11. Montrer que pour tout , on a
et
8.12. Conclure que pour tout , tout point et tout , il existe tel que pour tout ,
Fin du sujet
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