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ENS Mathématiques D MP 2021

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X-ENS
Année
2021
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2021MP MathsMaths 2021
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2021

JEUDI 15 AVRIL 2021
08h00-14h00
FILIERE MP - Epreuve
MATHEMATIQUES D (U)
Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Le sujet comprend 7 pages, numérotées de 1 à 7 .
Début du sujet

Produit de matrices aléatoires: le théorème de Furstenberg-Kesten

Notations : Dans tout le problème, est un entier fixé. On note l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans et le sous-ensemble des matrices inversibles. On note la norme usuelle sur et sa norme opérateur associée i.e
Si sont des variables aléatoires réelles, on dit que ( ) converge en probabilité vers , et on note , si
On considère une mesure de probabilité sur de support fini, i.e. pour
On suppose construit, sur un espace probabilisé , une suite de matrices aléatoires indépendantes et à valeurs dans identiquement distribuées de loi . Le but principal du problème est d'étudier le produit de matrices aléatoires inversibles
quand et d'établir le théorème de Furstenberg-Kesten (1960): il existe une constante telle que
Les parties I,II, III et IV sont relativement indépendantes. Les résultats nécessaires sont rappelés en début de chaque partie. À part dans la question préliminaire ci-dessous on suppose .
0 ). Question préliminaire. Dans cette question uniquement, , c'est-à-dire que l'on considère un produit de nombres aléatoires indépendants de loi sur à support fini. En appliquant la loi faible des grands nombres, montrer que

Partie I. Puissance d'une matrice et théorème de Gelfand

Fixons une matrice non nulle. Dans cette section, on étudie le comportement du produit pour . On introduit
où est l'ensemble des valeurs propres (complexes) de A. Le but de cette partie est de montrer le théorème de Gelfand en question I.4).
1). Soit . Montrer que .
2). Montrer que pour tout on a .
3). On suppose que est triangulaire supérieure.
a). Montrer que pour on peut écrire
où est l'ensemble des indices satisfaisant
  • et ,
  • pour tout ,
  • pour au plus valeurs de .
    b). En reliant au cardinal des suites strictement croissantes de entiers telles que et , montrer que
c). En déduire qu'il existe une constante telle que pour tout , les coefficients de sont bornés en valeur absolue par
4). (On revient au cas général, n'est plus forcément triangulaire supérieure). En déduire le théorème de Gelfand (1941)
5). Soit une norme quelconque sur . Montrer que l'on a également quand .
Les dernières questions de cette partie donnent des raffinements autour du théorème de Gelfand. Les résultats ne seront pas utilisés dans la suite.
6). a). En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, montrer que
et en déduire que .
b). Si , montrer que pour tout on a
et que quand .
c). Montrer que est continue.

Partie II. Exposants de Lyapunov via la sous-additivité

Dans cette partie, on montre une version "en espérance" de (1) en utilisant les propriétés des suites sous-additives. Soit une suite prenant ses valeurs dans . On dit que est sous-additive si pour tout on a
1). Soit une suite sous-additive.
a). Soit , en utilisant la division Euclidienne de par montrer que pour tout on a
b). Lemme de Fekete. En déduire que
On pourra traiter séparément le cas où de celui où il est fini.
2). Applications aux matrices aléatoires. Avec les notations introduites au début du sujet.
a). Montrer qu'il existe des constantes dépendantes de seulement telles que pour tout on a
b). Montrer que
sont sous-additives.
c). En déduire qu'il existe des constantes telles que

3). Premières propriétés.

a). Montrer que et donner un exemple où l'inégalité est stricte.
b). Montrer que et que .
c). Pour on introduit la norme
Si est une variable aléatoire à valeurs dans on notera la matrice des espérances des coefficients de .
i. Montrer que l'on a
ii. On suppose dans cette question seulement que la matrice aléatoire n'a que des coefficients positifs, c'est-à-dire que les matrices du support de sont toutes à coefficients positifs. Montrer alors que
et en déduire que .
iii. Dans le cas général du sujet montrer que
où pour on note .

Partie III. Calcul de et dans des cas particuliers

On rappelle la définition de et vue en II.2.c). Bien entendu, dans le cas où les matrices sont déterministes et égales à , on obtient d'après le théorème de Gelfand I.4). Dans cette section, on trouve une formule explicite de et de dans certains cas très particuliers.
1). Matrices diagonales. On suppose dans cette question que est un sous ensemble fini des matrices diagonales de . C'est-à-dire que l'on peut écrire pour tout
a). Montrer que
b). Montrer que .
c). Montrer que .
2). Matrices commutantes. On suppose cette fois-ci que toutes les matrices du support de commutent.
a). Montrer qu'on peut trouver une base dans laquelle toutes les matrices de sont triangulaires supérieures.
b). Montrer que
où est l'écriture de la matrice aléatoire dans la base de la question précédente.
Nous montrerons que à la fin de la partie IV.
3). L'échangeur. Dans cette question, on considère la mesure de probabilité pour définie par où
et on notera pour (la dépendance en est implicite) des matrices aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi . C'est-à-dire que avec probabilité et avec probabilité indépendamment pour tout . On écrira et pour la base canonique de .
a). Calculer et .
On fixe maintenant [ et pour on note les variables aléatoires
b). Montrer que
et en déduire que .
c). Pour prouver que et en déduire pour .
d). Montrer que
. En déduire que pour .
f). Avec les notations de la question II.3).c), montrer que pour tout on a .
g). En déduire que pour tout on a
Dans la suite du problème, on se focalisera sur la constante définie en II.2).c). Nous allons voir que cette constante gouverne le comportement "typique" (i.e. avec grande probabilité) de la norme de , contrairement à qui peut être influencée par les valeurs "atypiques" de .

Partie IV. Le théorème de Furstenberg-Kesten

Dans cette section, on établit le théorème de Furstenberg-Kesten (1) en "renforçant" la convergence en espérance obtenue dans II.2) en une convergence en probabilité. On rappelle que est un produit de matrices aléatoires, identiquement distribuées et de même loi de support fini .
1). Soit et écrivons la division Euclidienne de par . Montrer que l'on peut écrire
où les sont indépendantes, de même loi que , et également indépendantes de qui a la même loi que .
2). En appliquant la loi faible des grands nombres, déduire que pour tout on a
3). Soit des variables aléatoires à valeurs dans satisfaisant pour un certain
  • ,
  • .
Prouver que en probabilité quand .
4). En déduire le Théorème de Furstenberg-Kesten (1960) :
Voyons une application de ce résultat à l'exemple étudié en III. 2).
5). Avec les mêmes hypothèses et notations qu'en III.2).b), nous allons montrer que
On commencera par le cas et on écrira
Raisonnons par l'absurde et supposons que .
a). Montrer alors que .
b). En écrivant
où et sont deux copies indépendantes de , aboutir à une contradiction.
c). Comment procéderiez-vous dans le cas général ?

Fin du sujet.

Ce théorème établi en 1960 par Hillel Furstenberg (1935-) et Harry Kesten (1931-2019) peut être vu comme une généralisation de la loi des grands nombres au cas du produit non-commutatif de matrices aléatoires. Il a de nombreuses applications dans la théorie des systèmes dynamiques. Hélas, le calcul explicite de , même dans des cas très simples, est souvent impossible.
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