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ENS Mathématiques D MP 2020

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesSéries entières (et Fourier)
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2020
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2020MP MathsMaths 2020
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

JEUDI 23 AVRIL 2020-8h00-14h00 FILIERE MP - Epreuve

MATHEMATIQUES D
(U)

Le sujet comprend 9 pages, numérotées de 1 à 9

Début du sujet

Définitions et notations

  • Si est un ensemble fini, on note son cardinal.
  • Pour , on note . Si est une partie de de cardinal , on note l'unique bijection croissante de sur .
  • On note le groupe des bijections de sur . Si , on note l'ensemble des éléments qui vérifient la condition (de montée-descente) :
    pour si est impair, si est pair;
    et on note l'ensemble des éléments qui vérifient la condition (de descentemontée) :
    pour si est impair, si est pair.
  • Soit une fonction de dans . Un maximum (resp. minimum) relatif de est un réel tel qu'il existe tel que (resp. ) pour tout . Un maximum (resp. minimum) relatif strict de est un réel tel qu'il existe tel que (resp. ) pour tout . Un extremum relatif est un point de qui est soit un maximum relatif, soit un minimum relatif. Un extremum relatif strict est un point de qui est soit un maximum relatif strict, soit un minimum relatif strict.
  • La droite réelle sera toujours munie de la norme associée à la valeur absolue.
  • Une fonction de dans est dite simple si elle est continue, si l'ensemble des extremums relatifs de est fini et si la restriction de à est injective.
  • On note l'ensemble des fonctions simples de dans , et, pour , on note l'ensemble des fonctions telles que . On note enfin .
  • Les composantes connexes par arcs d'une partie d'un espace normé seront simplement appelées les composantes de cette partie.
  • On note l'espace des polynômes à coefficients réels. Si et si est une algèbre sur , pour on pose .

Les parties II, III, IV, V sont indépendantes.

Partie I

  1. a. Vérifier que les extremums relatifs des fonctions de sont stricts.
    b. Soit . Montrer que la restriction de à l'adhérence de chaque composante de est strictement monotone. En déduire que si est un maximum (resp. minimum) relatif, le plus petit élément de vérifiant est un minimum (resp. maximum) relatif.
    c. Soit avec . On pose . Soit l'élément de défini par
Montrer que .
2. On définit une relation de la manière suivante : pour tout couple de si et seulement si il existe deux bijections continues et , strictement croissantes, qui vérifient .
a. Vérifier que est une relation d'équivalence sur et montrer que chaque classe d'équivalence de est contenue dans l'un des ensembles .
b. Soient et des parties de qui vérifient et . Vérifier qu'il existe une bijection continue strictement croissante telle que pour .
c. On suppose que et sont dans et que
Démontrer que si et seulement si .
d. L'équivalence précédente subsiste-t-elle pour deux fonctions et quelconques de ?
3. On note l'espace des fonctions continues bornées de dans , que l'on munit de la norme uniforme : pour .
a. Soient et avec et . Montrer qu'il existe une application continue telle que :
  • pour , la fonction est une bijection strictement croissante de sur ,
    pour et .
    b. Démontrer que les classes d'équivalence de la restriction de à sont connexes par arcs.
    c. Donner un exemple d'arc continu tel que et .

Partie II

Dans cette partie, pour , on note l'espace des fonctions polynômiales de dans de degré au plus .
  1. Soit . On note Id l'application identique de . On munit d'une norme notée et l'espace des applications linéaires de dans de la norme associée, encore notée . Pour et , on note (resp. ) la boule ouverte (resp. fermée) de centre et de rayon . Soit un ouvert de contenant 0 et soit une application de classe telle que et dont la différentielle en 0 est inversible.
    a. On pose
Montrer que est de classe sur et qu'il existe tel que et pour . En déduire que est injective dans .
b. Soit et soit . On pose pour . Montrer que
c. Montrer qu'il existe tel que .
d. Soient et . Montrer que et sont ouverts et que est un homéomorphisme de sur .
2. Soit un ouvert de et soit une application de classe dont la différentielle en est inversible pour tout . Démontrer que l'image par d'un ouvert de est un ouvert de .
3. Pour , soit et soit l'ensemble des -uples tels que
si est impair, si est pair.
Pour , on définit la fonction par . On définit l'application par
a. Soient et . Montrer que
est dans et s'annule avec sa dérivée en 0 . En déduire l'existence de vérifiant
b. Pour et , montrer l'existence de et vérifier que
En déduire que est une application de classe sur l'ouvert , à valeurs dans .
c. Démontrer que pour , la partie est une base de .
d. En déduire que la différentielle de au point est inversible.
4. Pour , une fonction de est dite unitaire lorsque le coefficient de son terme de degré est 1 . On note l'ensemble de ces fonctions. On note .
a. Montrer que .
b. Pour , démontrer que si
c. Vérifier que l'application se prolonge continûment à l'adhérence de .
d. Montrer que si est un compact de contenu dans est compact.
5. Montrer que est ouverte et fermée dans et en déduire que est surjective.
6. Montrer que pour tout , pour toute fonction de vérifiant , il existe un élément tel que (où est la relation définie en I.2).

Partie III

Soit . Pour , on note l'ensemble des applications telles que
Pour et , on note l'ensemble des éléments de tels que
  1. Pour vérifier que l'application , qui à associe défini par
est une bijection vérifiant et . Vérifier que si et si sont des éléments de vérifiant ,
  1. À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur et l'ensemble est-il non vide? À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur et l'ensemble est-il non vide?
  2. Dans cette question et la suivante, on fixe et . On se propose de construire une bijection de sur . Soit .
    a. Vérifier que le nombre d'entiers tels que vérifie . On note ces entiers, que l'on ordonne de telle manière que .
    b. On considère la fonction définie par
Montrer que vérifie
et que l'intervalle contient exactement éléments de .
c. On note et on pose (on rappelle que désigne l'unique bijection croissante de sur ). Montrer que .
d. Soit . Vérifier que .
On note l'application de dans définie par .
4. Soit et soit .
a. Vérifier que le nombre d'entiers tels que vérifie . On note ces entiers, avec .
b. On pose . Montrer que le nombre d'entiers tels que vérifie . On les note , avec et on pose .
c. En considérant l'application définie par
montrer l'existence de vérifiant .
d. Montrer que est bijective.
5. Donner un procédé de calcul de par récurrence.

Partie IV

  1. On note et l'ensemble des nombres impairs de .
    a. Démontrer que pour .
    b. En déduire que pour .
  2. a. Montrer que le rayon de convergence de la série entière est .
    b. Pour , on note la somme de la série entière précédente. Démontrer que
c. En déduire que , puis que
  1. Pour une fonction de classe et , on note la dérivée d'ordre de , avec la convention . On note l'unique application linéaire telle que
Pour , on note la composée d'ordre de , avec la convention .
a. Soit . Démontrer que pour pour .
b. Pour , soit le sous-espace de engendré par . Soit l'injection canonique de dans et soit la projection linéaire définie par si et sinon. On pose enfin . Vérifier que est une application linéaire de dans et écrire sa matrice dans la base .
4. Soit le polynôme caractéristique de .
a. Vérifier que et
b. Calculer le déterminant de .
c. Démontrer que, si désigne la partie entière de ,
avec
où désigne l'ensemble des -uples d'entiers de tels que pour .
5. Dans la suite de cette partie, désigne un entier premier impair fixé. On pourra utiliser sans démonstration le théorème de Wilson :
On note le corps et si , on note sa classe dans . Pour , on note l'ensemble des parties à éléments de vérifiant la condition
a. Pour et , on pose . Montrer que l'application est un morphisme de ( ) dans le groupe des bijections de .
b. On définit une relation entre éléments de de la manière suivante : si sont dans si et seulement si il existe tel que . Montrer que est une relation d'équivalence sur , et que chaque classe d'équivalence est de cardinal et admet un représentant de la forme avec . On choisit un tel représentant pour chaque classe et on note l'ensemble des représentants ainsi choisis.
c. Démontrer que
  1. a. Pour , on pose . Observer que divise et en déduire par récurrence que divise pour .
    b. Soient et deux matrices carrées d'ordre à éléments dans . On définit la relation par pour . Démontrer que
c. Que peut-on dire d'un polynôme à coefficients entiers tel que ?
7. On rappelle que désigne la classe de dans .
a. Montrer que , où est le coefficient sur le terme de la décomposition de dans la base .
b. Démontrer que la suite est périodique, de période minimale si [4] et de période minimale ( ) si [4].
c. Indiquer les modifications à apporter aux questions précédentes pour montrer un résultat analogue pour la suite .

Partie V

On note l'ensemble des vérifiant et . Dans cette partie, on dira simplement minimum pour minimum relatif et maximum pour maximum relatif . On note l'ensemble des minimums de et l'ensemble des maximums de , donc .
  1. Soit .
    a. Vérifier que et que pour est la réunion d'intervalles ouverts non vides et deux à deux disjoints. On note leur ensemble.
    b. Montrer que pour tout élément de , il existe un unique couple d'éléments de tels que .
    c. Montrer que est de la forme avec vérifiant . Que peut-on dire de ?
  2. Soit . On note avec . Montrer qu'il est possible de définir une bijection de dans par récurrence de la manière suivante :
  • est le minimum de contenu dans dont l'image par est la plus grande des images par des minimums contenus dans ;
  • pour est le minimum de contenu dans dont l'image par est la plus grande des images par des minimums contenus dans et n'appartenant pas à .
    On dira que est la bijection associée à .
  1. Soit . On fixe tel que et on note l'ensemble des fonctions de qui coïncident avec sur le complémentaire de . Pour , on pose
a. Montrer qu'il existe tel que si vérifie ,
b. Montrer que pour tout et tout entier pair , il existe vérifiant et telle que .
4. Soit et soit sa bijection associée. Le code de est l'ensemble
On se propose dans la suite de cette partie de montrer que le code varie continûment avec la fonction, dans un sens approprié.
On fixe et un réel comme dans la question précédente, dont on conserve les notations. On fixe .
a. On pose
Vérifier que et vérifier qu'il existe
tel que
Dans la suite de cette question on suppose que est ainsi choisi.
Pour une fonction et pour tout élément , on appellera successeur de pour le plus petit élément de qui est strictement supérieur à .
b. Soit et soit le successeur de pour . Montrer l'existence de tel que pour vérifiant , pour tout maximum de dans , le successeur de pour est dans .
c. On conserve les hypothèses de la question précédente sur et . Montrer l'existence de tel que pour vérifiant , pour tout maximum de dans , le successeur de pour vérifie .
d. Soit et soit le successeur de pour . Montrer brièvement l'existence de tel que pour vérifiant , pour tout minimum de dans , le successeur de pour vérifie .
e. Étudier sans démonstration le cas des maximums et minimums contenus dans les intervalles ou de la forme .
5. On fixe , de bijection associée , et un réel comme dans la question précédente.
a. Montrer qu'il existe tel que si et si vérifie (1) et (2), il existe tel que pour toute fonction vérifiant , pour tout couple vérifiant , alors
où
et où est la bijection associée à .
b. Pour une partie finie de et un réel , on pose . Si et sont deux parties finies de , on pose
Montrer qu'il existe tel que si vérifie , alors .
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